[论文解读] On the Hamiltonian formulation and integrability of the Rajeev-Ranken model

Govind S. Krishnaswami, T. R. Vishnu|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

本文建立了Rajeev-Ranken模型的哈密顿形式和经典可积性，该模型是强耦合幂等标量场理论（与SU(2)主守恒模型对偶）的力学约化。通过识别达布坐标、Lax对、经典r-矩阵以及退化泊松铅笔，作者证明了该系统通过一组函数独立的守恒荷在对易下构成完备集，从而实现刘维尔可积性；并将其与诺特定性联系起来，揭示了Neumann模型的新哈密顿形式。

ABSTRACT

The integrable 1+1-dimensional SU(2) principal chiral model (PCM) serves as a toy-model for 3+1-dimensional Yang-Mills theory as it is asymptotically free and displays a mass gap. Interestingly, the PCM is 'pseudo-dual' to a scalar field theory introduced by Zakharov and Mikhailov and Nappi that is strongly coupled in the ultraviolet and could serve as a toy-model for non-perturbative properties of theories with a Landau pole. Unlike the semi-direct product of su(2) and abelian current algebras of the PCM, its pseudo-dual is based on a nilpotent current algebra. Recently, Rajeev and Ranken obtained a mechanical reduction by restricting the nilpotent scalar field theory to a class of constant energy-density classical waves expressible in terms of elliptic functions, whose quantization survives the passage to the strong-coupling limit. We study the Hamiltonian and Lagrangian formulations of this model and its classical integrability, identifying Darboux coordinates, Lax pairs, classical r-matrices and a degenerate Poisson pencil. We identify Casimirs as well as a complete set of conserved quantities in involution and the canonical transformations they generate. They are related to Noether charges of the field theory and are shown to be generically functionally independent, implying Liouville integrability. We also find an interesting relation between this model and the Neumann model allowing us to discover a new Hamiltonian formulation of the latter.

研究动机与目标

• 建立从强耦合幂等标量场理论导出的Rajeev-Ranken机械模型的严格哈密顿形式。
• 通过识别对易的守恒量及其关联对称性，研究该模型的经典可积性。
• 通过达布坐标、Lax对和退化泊松铅笔揭示该模型的几何结构。
• 将该模型的守恒荷与底层场论的诺特对称性联系起来。
• 揭示Rajeev-Ranken模型与Neumann模型之间新的联系，从而导出后者的新哈密顿形式。

提出的方法

• 从幂等标量场理论的力学约化出发，推导Rajeev-Ranken模型的哈密顿与拉格朗日形式。
• 在相空间上识别达布坐标，以简化泊松结构并促进可积性分析。
• 构造Lax对与经典r-矩阵，以刻画该模型的可积结构。
• 分析退化泊松铅笔，以理解系统的代数与几何约束。
• 识别卡西米尔量与对易的守恒量，通过证明其函数独立性，确认刘维尔可积性。
• 通过正则变换建立Rajeev-Ranken模型与Neumann模型之间的映射，从而导出后者的新哈密顿形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rajeev-Ranken模型是否具有自洽的哈密顿形式？其底层泊松结构为何？
• RQ2 是否存在足够多的对易守恒量，以确保该模型的刘维尔可积性？
• RQ3 守恒荷如何与母场论的诺特对称性相关联？
• RQ4 经典r-矩阵与退化泊松铅笔在该模型中具有怎样的几何与代数作用？
• RQ5 该模型的结构能否用于推导Neumann模型的新哈密顿形式？

主要发现

• Rajeev-Ranken模型因存在一组函数独立的守恒荷在对易下构成完备集，被证明是刘维尔可积的。
• 守恒荷被识别为与底层场论对称性相关的诺特荷，证实了其物理意义。
• 显式构造了达布坐标，简化了泊松括号结构，使系统动力学的系统分析成为可能。
• 识别出退化泊松铅笔，揭示了该模型相空间的底层代数结构。
• 推导出该模型的Lax对与经典r-矩阵，确认了其可积性，并为求解运动方程提供了工具。
• 通过将该模型与Rajeev-Ranken模型通过正则变换关联，发现了Neumann模型的新哈密顿形式。