[论文解读] On the hardness of the decoding and the minimum distance problems for rank codes

Philippe Gaborit, Zemor Gilles|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文通过从扩展域上的汉明度量码到秩度量码的随机嵌入，建立了秩码的秩综合编码（RSD）和秩最小距离（RMD）问题的计算困难性。证明了若任一问题属于ZPP，则NP = ZPP，这意味着这些问题不太可能被高效求解，并将该结论扩展至这些问题的近似版本。

ABSTRACT

In this paper we give a randomized reduction for the Rank Syndrome Decoding problem and Rank Minimum Distance problem for rank codes. Our results are based on an embedding from linear codes equipped with Hamming distance unto linear codes over an extension field equipped with the rank metric. We prove that if both previous problems for rank metric are in ZPP = RP$\cap$coRP, then we would have NP=ZPP. We also give complexity results for the respective approximation problems in rank metric.

研究动机与目标

• 研究秩码的秩综合编码（RSD）和秩最小距离（RMD）问题的计算复杂性。
• 确定这些问题是否属于ZPP（零错误的随机多项式时间），这将意味着NP = ZPP。
• 将困难性结果扩展至秩度量下的近似问题变体。
• 建立秩度量问题复杂性与NP和ZPP等基本复杂性类之间的联系。
• 提供从汉明度量问题到秩度量问题的随机化约化，利用域扩张嵌入。

提出的方法

• 随机嵌入将小域上的线性码（具有汉明距离）映射为扩展域上的线性码（具有秩度量）。
• 该嵌入在保持码结构的同时，通过基域上的矩阵表示将汉明距离转换为秩距离。
• 利用扩展域的基将F_{Q}中的元素表示为F_q^m中的向量，从而定义秩权重为对应矩阵的秩。
• 作者使用见证构造技术证明：若RSD或RMD属于RP，则NP ⊆ RP，从而推出NP = ZPP。
• 对于近似问题，他们在秩度量下定义了GapRMDP和GapRNCP，并应用相同的嵌入将汉明近似问题的困难性转移至秩度量。
• 他们证明：若近似问题属于coRP，则NP = ZPP，使用了非忠实随机（UR）约化框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 秩码的秩综合编码问题是否属于ZPP，若属于，对复杂性类有何影响？
• RQ2 秩码的秩最小距离问题是否属于ZPP，若属于，其后果是什么？
• RQ3 秩度量下的最小距离与译码问题的困难性能否从汉明度量下的对应问题约化而来？
• RQ4 秩度量下RSD与RMD问题的近似版本的复杂性如何？
• RQ5 能否为秩译码与最小距离问题构造出类似汉明与格问题中已知的确定性约化？

主要发现

• 若秩码的秩综合编码问题属于ZPP，则NP = ZPP，表明该问题在计算上是困难的，除非多项式阶层坍缩。
• 类似地，若秩码的秩最小距离问题属于ZPP，则NP = ZPP，提供了其不可解性的强有力证据。
• 从汉明度量到秩度量的约化基于基于域扩张的随机嵌入，将汉明权重码映射为秩权重码。
• 在秩度量下，近似问题GapRMDP与GapRNCP被证明在随机约化下为NP难，且若可在coRP中求解，则NP = ZPP。
• 最小距离问题的约化需要度数为n线性的域扩张，而译码问题需要二次域扩张，表明约化中存在结构性不对称性。
• 结果可推广至承诺问题，表明即使在常数因子内近似秩度量下的最小距离或最近码字，也是困难的，除非NP = ZPP。