[论文解读] On the Hardnesses of Several Quantum Decoding Problems

Kao-Yueh Kuo, Chung-Chin Lu|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文建立了三类基本量子译码问题在稳定子码上的 NP-难问题：量子有界距离译码（QBDD）、量子最大似然译码（QMLD）以及在退极化信道上的量子最小错误概率译码（QMEPD）。通过从 QBDD 到 QMLD、再从 QMLD 到 QMEPD 的多项式时间归约，作者证明了对一般稳定子码进行高效译码很可能不可能实现，从而加强了量子码基密码学的安全基础。

ABSTRACT

We classify the time complexities of three important decoding problems for quantum stabilizer codes. First, regardless of the channel model, quantum bounded distance decoding is shown to be NP-hard, like what Berlekamp, McEliece and Tilborg did for classical binary linear codes in 1978. Then over the depolarizing channel, the decoding problems for finding a most likely error and for minimizing the decoding error probability are also shown to be NP-hard. Our results indicate that finding a polynomial-time decoding algorithm for general stabilizer codes may be impossible, but this, on the other hand, strengthens the foundation of quantum code-based cryptography.

研究动机与目标

• 对量子稳定子码的关键译码问题的计算复杂性进行分类。
• 确立无论信道模型如何，量子有界距离译码（QBDD）均为 NP-难问题。
• 证明在退极化信道上，量子最大似然译码（QMLD）和量子最小错误概率译码（QMEPD）均为 NP-难问题。
• 证明这些译码问题的困难性支持了量子码基密码系统的安全性。
• 解决在退极化信道上基于广义权重度量的最优译码复杂性这一开放问题。

提出的方法

• 通过从 NP-完全问题“陪集权重”归约，证明 QBDD 为 NP-难问题，将经典结果扩展至量子设置。
• 使用广义权重度量来定义稳定子码中的错误模式和纠错能力。
• 通过构造一个误差概率 ε 足够小的信道模型，实现从 QBDD 到 QMLD 的多项式时间归约。
• 通过精心选择 ε，使得最可能的错误陪集主导似然函数，从而实现从 QMLD 到 QMEPD 的进一步归约。
• 利用具有满行秩的校验矩阵结构以及泡利群表示来建模错误模式。
• 分析似然函数 α_v = (1−ε)^n Σ_{u∈v+Row(H)} (ε/3 / (1−ε))^{gw(u)}，以确保在 ε 足够小时最优解具有唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义权重度量下，稳定子码的量子有界距离译码（QBDD）是否为 NP-难问题？
• RQ2 在退极化信道上，量子最大似然译码（QMLD）是否为 NP-难问题？
• RQ3 在退极化信道上，量子最小错误概率译码（QMEPD）是否为 NP-难问题？
• RQ4 能否通过多项式时间归约，利用 QBDD 的 NP-难性证明 QMLD 和 QMEPD 的 NP-难性？
• RQ5 在退极化信道上，最优译码的困难性是否支持量子码基密码系统的安全性？

主要发现

• 在广义权重度量下，稳定子码的量子有界距离译码（QBDD）为 NP-难问题，且与信道模型无关。
• 在退极化信道上，量子最大似然译码（QMLD）为 NP-难问题，其证明基于从 QBDD 的多项式时间归约。
• 在退极化信道上，量子最小错误概率译码（QMEPD）为 NP-难问题，其证明基于从 QMLD 的多项式时间归约。
• 这些译码问题的 NP-难性意味着，除非 P = NP，否则对一般稳定子码不存在多项式时间译码算法。
• 在广义权重度量下译码的困难性，加强了量子码基密码学对基于最优译码的窃听攻击的安全基础。
• 该证明依赖于设置一个足够小的信道误差概率 ε，使得似然函数倾向于正确陪集，从而确保归约的正确性。