[论文解读] On the Hawkes Process with Different Exciting Functions

Behzad Mehrdad, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Point processes and geometric inequalities被引用 8

一句话总结

本文研究了一类具有不同激发函数的广义线性霍克斯过程，每个到达世代的激发函数各不相同，扩展了经典霍克斯模型。该文建立了平衡态收敛性、大偏差与中等偏差原理，并将该框架应用于金融领域，包括微观市场噪声和重尾索赔大小下的 ruin 概率。

ABSTRACT

The Hawkes process is a simple point process, whose intensity function depends on the entire past history and is self-exciting and has the clustering property. The Hawkes process is in general non-Markovian. The linear Hawkes process has immigration-birth representation. Based on that, Fierro et al. recently introduced a generalized linear Hawkes model with different exciting functions. In this paper, we study the convergence to equilibrium, large deviation principle, and moderate deviation principle for this generalized model. This model also has connections to the multivariate linear Hawkes process. Some applications to finance are also discussed.

研究动机与目标

• 分析具有不同激发函数的广义线性霍克斯过程在各代到达中向平衡态收敛的性质。
• 推导广义模型的大偏差与中等偏差原理，将经典结果推广至非相同激发核的情形。
• 建立广义霍克斯过程与多变量霍克斯过程之间的联系，增强建模灵活性。
• 将理论框架应用于金融情境，特别是微观市场噪声与由霍克斯到达驱动的风险过程。
• 推导在子指数索赔大小分布下，由广义霍克斯过程驱动的风险过程的渐近 ruin 概率。

提出的方法

• 利用移民-出生表示法，为每一世代 $n$ 构造具有不同激发函数 $\gamma_n(t)$ 的广义霍克斯过程。
• 采用拉普拉斯变换与矩生成函数技术，推导大偏差与中等偏差原理。
• 应用 G"{a}rtner-Ellis 定理与 Cram\'{e}r 定理，建立过程强度的大偏差结果。
• 利用更新理论与亚指数分布的性质，分析重尾索赔大小下的 ruin 概率。
• 通过将广义模型与耦合点过程系统关联，建立与多变量霍克斯过程的联系。
• 应用 Glynn 和 Whitt (1989) 关于随机游走大偏差的结果，推导 ruin 概率的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有不同激发函数的广义霍克斯过程如何收敛到平衡态？
• RQ2 该广义模型的大偏差与中等偏差原理是什么？
• RQ3 该模型与多变量霍克斯过程有何关联？
• RQ4 在子指数索赔大小下，由霍克斯到达驱动的风险过程的渐近 ruin 概率是多少？
• RQ5 该模型如何应用于金融市场的微观市场噪声？

主要发现

• 当所有世代的总激发量有限时，该过程收敛到平衡态。
• 大偏差原理已建立，其速率函数由过程的矩生成函数导出。
• 对于无限时域下的 ruin 概率与子指数索赔，渐近速率为 $\frac{m\mathbb{E}[C_1]}{p - m\mathbb{E}[C_1]}$ 乘以积分尾分布 $\overline{B}_0(u)$。
• 对于有限时域下的 ruin 概率，渐近行为取决于尾指数：幂律尾部产生幂律修正，而 Weibull/对数正态尾部产生指数修正。
• 通过矩生成函数的标度极限推导出中等偏差原理，表明大偏差呈指数衰减。
• 该模型为通过自激发点过程分析高频金融数据中的微观市场噪声与聚类现象提供了严谨的理论框架。