[论文解读] On the Heegaard Floer homology of a surface times a circle

Stanislav Jabuka, Thomas E. Mark|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文计算了当 $g \geq 3$ 时，3-流形 $Σ_g \times S^1$ 的 Heegaard Floer 同调，聚焦于 $c_1 = 0$ 的自旋$^c$ 结构。通过辛几何与 $\mathfrak{sl}_2$ 的表示理论，本文证明了 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ 包含非平凡的 2-挠，这是首个在 $\mathbb{Z}$-系数 Heegaard Floer 同调中发现的例子，并将 $HF^\infty$ 与 $\Sigma_g$ 的雅可比环面之上一个圆丛的上同调联系起来。

ABSTRACT

We make a detailed study of the Heegaard Floer homology of the product of a closed surface Sigma_g of genus g with S^1. We determine HF^+ for this 3-manifold completely for the spin^c structure having trivial first Chern class, which for g>2 was previously unknown. We show that in this case HF^\infty is closely related to the cohomology of the total space of a certain circle bundle over the Jacobian torus of Sigma_g, and furthermore that HF^+ of a surface times a circle with integral coefficients contains nontrivial 2-torsion whenever g>2. This is the first example known to the authors of torsion in Heegaard Floer homology with integral coefficients. Our methods also give new information on the action of H_1 of a surface times the circle on HF^+ of the same with spin^c-structures with nonzero first Chern class.

研究动机与目标

• 计算当 $g \geq 3$ 且 $c_1(\mathfrak{s}_0) = 0$ 时的 Heegaard Floer 同调 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0\right)$，此前该结果尚不明确。
• 确定 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ 的结构，并将其与 $\Sigma_g$ 的雅可比环面上的圆丛的上同调联系起来。
• 确立 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ 中非平凡 2-挠的存在性，这是 $\mathbb{Z}$-系数 Heegaard Floer 同调中的首个例子。
• 分析当 $c_1(\mathfrak{s}) \neq 0$ 时，$H_1(\Sigma_g \times S^1)$ 对 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}\right)$ 的作用。

提出的方法

• 利用 $\Lambda^*H^1(\Sigma_g; \mathbb{Z})$ 在 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$-表示下的分解，分析 Heegaard Floer 复形中微分的作用。
• 应用 Hodge-Lefschetz 算子 $\tilde{\star}$ 与对 $1 - e^{-\omega U}$ 的收缩，通过 $\Lambda^*H^1(\Sigma_g)$ 上对 $1 - e^{-\omega}$ 的收缩的余核来计算 $HF^\infty$。
• 使用手术精确三角形与映射 $F^+$，将 $HF^+$ 与 $\widehat{HF}$ 关联，利用投影 $\pi_C$ 到 $\mathbb{Z}[U]$-模的子复形。
• 使用模 2 系数以避免复杂的表示理论，证明 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right) \cong \widehat{HF} \otimes \mathcal{T}_0 \otimes \mathbb{Z}_2$。
• 依赖于邻接不等式，排除 $c_1$ 不是 $[pt \times S^1]$ 的倍数的自旋$^c$ 结构中非平凡 $HF^+$ 的可能性，从而将问题简化为有限多个情形。
• 计算 $\Lambda^*H^1(\Sigma_g)$ 上对 $1 - e^{-\omega}$ 的收缩的余核，该余核控制 $HF^\infty$，并证明其在 $g \leq 7$ 时同构于 $H^*(E_g; \mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Z}[U, U^{-1}]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $g \geq 3$ 且 $c_1(\mathfrak{s}_0) = 0$ 时，$HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ 的结构是什么？
• RQ2 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ 是否包含非平凡 2-挠？若如此，其重要性为何？
• RQ3 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ 如何与 $\Sigma_g$ 的雅可比环面上的圆丛的上同调相关联？
• RQ4 当 $c_1(\mathfrak{s}) \neq 0$ 时，$H_1(\Sigma_g \times S^1)$ 对 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}\right)$ 的作用是什么？
• RQ5 为何当 $g > 2$ 时，$HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right)$ 的秩大于 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{C}\right)$？

主要发现

• 当 $g \geq 3$ 时，$HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ 包含非平凡 2-挠，这是 $\mathbb{Z}$-系数 Heegaard Floer 同调中的首个已知例子。
• $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right)$ 在任意固定次数的秩为 $2^{2g-1} + 2^{g-1}$，当所有 $g > 2$ 时，该值超过 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{C}\right)$ 的秩 $\binom{2g+1}{g}$。
• 当 $g \leq 7$ 时，$HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right) \cong H^*(E_g; \mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Z}[U, U^{-1}]$，经适当分次平移后成立，其中 $E_g$ 是 $\Sigma_g$ 的雅可比环面上的 $S^1$-丛。
• $\Lambda^*H^1(\Sigma_g)$ 上对 $1 - e^{-\omega}$ 的收缩的余核控制 $HF^\infty$，且当 $g \leq 7$ 时，该余核同构于 $H^*(E_g; \mathbb{Z})$。
• 在模 2 下，手术精确三角形中的映射 $F^+$ 由矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & \tilde{\star} \\ \tilde{\star} & 1 \end{bmatrix}$ 表示，其核与余核均同构于 $\Lambda^p H^1(\Sigma_g)$，维数为 $\binom{2g}{p}$。
• $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right)$ 的约化 Floer 同调是平凡的，且 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right) \cong \widehat{HF} \otimes \mathcal{T}_0 \otimes \mathbb{Z}_2$。