[论文解读] On the hierarchical risk-averse control problems for diffusion processes

Getachew K. Befekadu, Alexander Veremyev+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文通过一种Stackelberg型框架，为扩散过程构建了一个分层的风险规避控制问题，其中领导者的风险规避满意度优先于追随者。通过由时间一致的$g$-期望驱动的动态规划方程的粘性解，建立了最优风险规避解的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we consider a risk-averse control problem for diffusion processes, in which there is a partition of the admissible control strategy into two decision-making groups (namely, the {\it leader} and {\it follower}) with different cost functionals and risk-averse satisfactions. Our approach, based on a hierarchical optimization framework, requires that a certain level of risk-averse satisfaction be achieved for the {\it leader} as a priority over that of the {\it follower's} risk-averseness. In particular, we formulate such a risk-averse control problem involving a family of time-consistent dynamic convex risk measures induced by conditional $g$-expectations (i.e., filtration-consistent nonlinear expectations associated with the generators of certain backward stochastic differential equations). Moreover, under suitable conditions, we establish the existence of optimal risk-averse solutions, in the sense of viscosity solutions, for the corresponding risk-averse dynamic programming equations. Finally, we briefly comment on the implication of our results.

研究动机与目标

• 为领导者的风险规避满意度优先于追随者的风险规避控制问题建立模型。
• 通过由条件$g$-期望诱导的时间一致动态凸风险度量，形式化该问题。
• 通过相应风险规避动态规划方程的粘性解，建立最优风险规避策略的存在性。
• 在信息流受限的条件下，分析领导者与追随者之间的相互作用，其中追随者作为对领导者策略的最佳响应。
• 通过涉及相对熵约束和对抗性控制过程的极小化-极大化公式，探讨模型不确定性的含义。

提出的方法

• 构建一个受控扩散过程，其中领导者和追随者的控制变量分别为$v_t \in V$和$w_t \in W$，满足非预测性和可积性条件。
• 定义两个不同的成本泛函：一个用于领导者（$\xi_{0,T}^1$），一个用于追随者（$\xi_{0,T}^2$），分别包含运行成本和终端成本。
• 采用通过后向随机微分方程（BSDE）生成器导出的条件$g$-期望来实现时间一致的动态凸风险度量。
• 推导出两位参与者的风险规避汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，其中包含与风险度量相关的生成函数$g_1$和$g_2$。
• 利用粘性解理论，在系数满足适当的正则性和增长条件时，建立最优解的存在性。
• 通过最佳响应对应关系分析最优控制的反馈结构，其中追随者的策略在给定领导者策略的条件下被确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为扩散过程构建一个分层的风险规避控制问题，使得领导者的风险规避满意度优先于追随者？
• RQ2 时间一致的$g$-期望在建模此类分层控制问题的动态风险度量中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，领导者-追随者系统在粘性解意义下存在最优风险规避解？
• RQ4 领导者与追随者之间受限的信息流如何影响最优控制策略的结构？
• RQ5 能否通过相对熵约束和对抗性控制过程，将扩散过程中的模型不确定性纳入风险规避控制框架？

主要发现

• 在粘性解意义下，分层风险规避控制问题存在最优风险规避策略对$(v_{\cdot}^*, w_{\cdot}^*)$。
• 领导者最优控制由一个包含追随者最佳响应策略的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的最小化决定。
• 追随者最优策略被表征为领导者HJB方程中子问题的最小化器，反映了最佳响应对应关系。
• 在漂移和扩散系数满足一致利普希茨条件、导数有界性以及扩散矩阵一致强椭圆性条件下，解的存在性得到保证。
• 风险规避动态规划方程在粘性解意义下被证明是适定的，确保了值函数的稳定性和收敛性。
• 通过引入对抗性控制的极小化-极大化公式，可将模型不确定性嵌入该框架，其中扰动过程$h_t$通过Girsanov定理诱导测度变换。