[论文解读] On the higher derivatives of Z(t) associated with the Riemann Zeta-Function

Kaneaki Matsuoka|arXiv (Cornell University)|May 10, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文在黎曼猜想成立的假设下证明：对于任意正整数 $ n $，当 $ t $ 足够大时，$ Z^{(n+1)}(t) $ 在 $ Z^{(n)}(t) $ 的每对相邻零点之间恰好有一个零点。证明依赖于构造一个亚纯函数 $ g_n(s) $，通过围道积分和幅角原理分析其零点，并利用黎曼-西格尔 $ Z(t) $ 函数及其导数的性质。

ABSTRACT

Let $Z(t)$ be the classical Hardy function in the theory of the Riemann zeta-function. The main result in this paper is that if the Riemann hypothesis is true then for any positive integer $n$ there exists a $t_{n}>0$ such that for $t>t_{n}$ the function $Z^{(n+1)}(t)$ has exactly one zero between consecutive zeros of $Z^{(n)}(t)$.

研究动机与目标

• 建立黎曼-西格尔函数 $ Z(t) $ 的高阶导数的连续零点之间的精确交错性质。
• 将此前关于 $ Z'(t) $ 和 $ Z''(t) $ 的结果推广至任意高阶导数 $ Z^{(n)}(t) $。
• 构造一个新函数 $ g_n(s) $，其性质与安德森的 $ \eta(s) $ 类似，从而能够分析 $ Z(t) $ 的导数结构。
• 在黎曼猜想成立的假设下，证明当 $ t $ 足够大时，$ Z^{(n+1)}(t) $ 在 $ Z^{(n)}(t) $ 的每对相邻零点之间恰好有一个零点。

提出的方法

• 通过递推关系 $ f_{n+1}(s) = f_n'(s) - \frac{1}{2}\omega(s)f_n(s) $ 定义 $ f_n(s) $，初始值为 $ f_0(s) = \zeta(s) $。
• 对相同的递推关系引入 $ h_n(s) $，并定义 $ g_n(s) = f_n(s)/h_n(s) $，其与 $ Z(t) $ 的 $ n $ 阶导数的关系为 $ Z^{(n)}(t) = i^n f_n(1/2+it)e^{i\theta(t)} $。
• 利用函数方程 $ \chi(s)f_n(1-s) = (-1)^n f_n(s) $ 推导 $ f_n(s) $ 和 $ g_n(s) $ 的对称性质。
• 对由 $ g_n(s) $ 导出的函数 $ G_n(w) $ 应用幅角原理与围道积分，以计算临界带内的零点与极点个数。
• 利用留数理论与渐近展开，估计临界线上 $ \frac{G_n'}{G_n}(s) $ 的值，得到涉及零点与极点之和的表达式。
• 推导关键微分不等式 $ \frac{d}{dt}\left(\frac{Z^{(n+1)}(t)}{Z^{(n)}(t)}\right) < 0 $，其在大 $ t $ 时成立，表明零点严格交错。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼猜想成立的假设下，$ Z^{(n)}(t) $ 与 $ Z^{(n+1)}(t) $ 的连续零点之间是否对所有 $ n \geq 1 $ 都具有交错性质？
• RQ2 能否构造一个亚纯函数 $ g_n(s) $，使其在临界线上的零点对应于 $ Z^{(n)}(t) $ 的零点？该函数满足何种函数方程？
• RQ3 在临界线上，$ g_n(s) $ 的对数导数的渐近行为如何？其如何控制导数比 $ Z^{(n+1)}(t)/Z^{(n)}(t) $ ？
• RQ4 函数 $ G_n(w) $（即 $ g_n(s) $ 的变换版本）的极点与零点如何影响 $ Z^{(n)}(t) $ 的零点分布？

主要发现

• 对于任意正整数 $ n $，存在 $ t_n > 0 $，使得当对所有 $ t > t_n $ 时，在黎曼猜想成立的假设下，$ Z^{(n+1)}(t) $ 在 $ Z^{(n)}(t) $ 的每对相邻零点之间恰好有一个零点。
• 函数 $ g_n(s) $（定义为 $ f_n(s)/h_n(s) $）满足函数方程 $ \chi(s)f_n(1-s) = (-1)^n f_n(s) $，且其在临界线上的零点对应于 $ Z^{(n)}(t) $ 的零点。
• 证明了对数导数 $ \frac{G_n'}{G_n}(1/2+it) $ 满足 $ i\frac{d}{dt}\frac{G_n'}{G_n}(1/2+it) = O(|t|^{-1}) - \sum_{\gamma} \frac{1}{(t - \gamma)^2} $，其中 $ \gamma $ 为 $ G_n(w) $ 在临界线上的零点。
• 导数比 $ \frac{Z^{(n+1)}(t)}{Z^{(n)}(t)} $ 在大 $ t $ 时具有负导数，表明 $ Z^{(n)}(t) $ 与 $ Z^{(n+1)}(t) $ 的零点严格交错。
• 对 $ h_n(s) $ 及其导数的渐近分析得到 $ h_n(s) = \frac{(\log|t|)^n}{2^n} + O((\log|t|)^{n-1}) $，且 $ \frac{h_n'}{h_n}(1/2+it) = O((|t|\log|t|)^{-1}) $，该结果有助于误差项的控制。