[论文解读] On the History of Geometrization of Space-time: From Minkowski to Finsler Geometry

Hubert Goenner|ArXiv.org|Nov 27, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文追溯了从闵可夫斯基时空统一到芬斯勒几何的推测性应用的物理学几何化历史发展。它提出了一种芬斯勒化扩展的狭义相对论，具有各向异性的色散关系，引入了一个破坏洛伦兹对称性的参数 $ r $，导致非零静止动量，同时在经过修正的变换下仍保持相对论不变性。

ABSTRACT

The article is a tribute to Hermann Minkowski leading from his geometry of numbers to an attempt at using Finsler geometry for a break of Lorentz invariance.

研究动机与目标

• 追溯从闵可夫斯基时空到现代芬斯勒几何的物理学几何化的历史演变。
• 探索芬斯勒几何作为通过几何结构统一物理定律的框架的潜力。
• 提出一种通过参数 $ r $ 破坏洛伦兹对称性的芬斯勒化狭义相对论扩展，导致各向异性的运动学。
• 检验此类理论是否能受到实验约束，特别是对“以太风”参数 $ rc $ 的约束。

提出的方法

• 将芬斯勒几何适配于建模时空，其度量通过参数 $ r $ 依赖于方向，推广闵可夫斯基度量。
• 推导出一个修正的色散关系 $ \left[\frac{\eta_{ij}p^{i}p^{j}}{(\eta_{lm}p^{l}a^{m})^{2}}\right]^{r}\eta_{st}p^{s}p^{t} = m^{2}c^{2}(1+r)^{1+r}(1-r)^{1-r} $，显示随着 $ r $ 增大，各向异性增强。
• 构建一个拉格朗日形式体系，其中 $ E = \vec{p} \cdot \vec{v} - L $ 且 $ \vec{p} = \partial L / \partial \vec{v} $，得到修正的能量和动量表达式。
• 推导能量和动量的非相对论极限，揭示出与 $ r $ 成正比的非零静止动量。
• 应用一个经过修正的洛伦兹变换群，绕 $ \vec{v} \times \vec{a} $ 旋转，由 $ \vec{v} $ 和 $ \vec{a} $ 参数化，以保持不变性。
• 利用对“以太风”的实验约束，将 $ rc < 5 \times 10^{-10} $ 作为限制，表明该理论可能具有可检验性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用芬斯勒几何在保持相对论不变性的前提下推广狭义相对论？
• RQ2 通过参数 $ r $ 在时空度量中引入方向依赖性，会带来哪些运动学后果？
• RQ3 在无速度的相对论理论中，能否出现非零静止动量，这对洛伦兹对称性意味着什么？
• RQ4 在非相对论极限下，修正的能量和动量表达式如何反映各向异性的效应？
• RQ5 对各向异性参数 $ r $ 存在哪些实验约束，能否用于检验芬斯勒模型？

主要发现

• 随着 $ r $ 增大，修正的色散关系表现出越来越强的各向异性，偏离标准闵可夫斯基形式。
• 能量表达式 $ E = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}} \left( \frac{1-\vec{a}\cdot\vec{v}/c}{\sqrt{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}} \right)^{r} \left[1 - r + r \frac{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}{1-\vec{a}\cdot\vec{v}/c} \right] $ 显示出强烈的方向依赖性。
• 动量表达式 $ \vec{p} = \frac{mc}{\sqrt{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}} \left( \frac{1-\vec{v}\cdot\vec{a}/c}{\sqrt{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}} \right)^{r} \left[ (1-r)\vec{v}/c + r\vec{a} \frac{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}{1-\vec{v}\cdot\vec{a}/c} \right] $ 揭示了速度相关的各向异性。
• 在非相对论极限下，能量包含一项 $ r(1-r)\frac{m(\vec{v}\cdot\vec{a})^{2}}{2} $，表明存在各向异性的动能。
• 在非相对论极限下，动量包含一个静止动量项 $ rmc\vec{a} $，即使当 $ \vec{v} = 0 $ 时也非零，表明洛伦兹对称性被破坏。
• 实验约束将 $ rc < 5 \times 10^{-10} $ 作为限制，表明若此类各向异性存在，其程度必须极小，且可能通过横向多普勒效应测量进行探测。