[论文解读] On the Hitchin morphism in positive characteristic

Yves Laszlo, Christian Pauly|ArXiv.org|Aug 31, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 8

一句话总结

该论文通过在光滑射影曲线上的向量丛上引入 $t$-联络，在正特征 $p > 0$ 下构造了仿射直线上的非平凡 Hitchin 映射形变。它证明了 $t$-联络的 $p$-曲率类比的特征多项式为 $p^\text{th}$-次幂，从而得到一个映射 $\mathcal{C}(r,X) \to W \times \mathbb{A}^1$，该映射在 $t=0$ 处限制为 Hitchin 映射，并证明了半稳定幂零 $t$-联络子堆的普遍闭性。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective curve over a field of characteristic p>0. We show that the Hitchin morphism, which associates to a Higgs bundle its characteristic polynomial, has a non-trivial deformation over the affine line. This deformation is constructed by considering the moduli stack of t-connections on vector bundles on X and an analogue of the p-curvature, and by observing that the associated characteristic polynomial is, in a suitable sense, a p-th power.

研究动机与目标

• 在正特征 $p > 0$ 下，构造 Hitchin 映射在仿射直线上的非平凡形变。
• 定义 $t$-联络的 $p$-曲率类比，并证明其特征多项式为 $p^\text{th}$-次幂。
• 将 Hitchin 映射扩展为一个在 $\mathbb{A}^1$ 上的映射，该映射在 $t=0$ 时插值为 Higgs 丛，在 $t=1$ 时插值为联络。
• 证明该映射在半稳定幂零 $t$-联络子堆上的限制是普遍闭的。

提出的方法

• 引入在特征 $p > 0$ 的域上，光滑射影曲线 $X$ 上秩为 $r$ 的向量丛的 $t$-联络模堆 $\mathcal{C}(r,X)$。
• 将 $t$-联络定义为在 $t=0$ 时插值为 Higgs 丛、在 $t=1$ 时插值为联络的插值对象，使用阶数 $\leq 1$ 的主部分层。
• 构造 $t$-联络的 $p$-曲率类比，并通过命题 3.2 证明其特征多项式为 $p^\text{th}$-次幂。
• 利用 $p^\text{th}$-次幂性质，定义映射 $H: \mathcal{C}(r,X) \to W \times \mathbb{A}^1$，其中 $W = \oplus_{i=1}^r H^0(X, \omega_X^i)$。
• 通过 Harder-Narasimhan 分次和代数化技术，证明 $H$ 在半稳定幂零 $t$-联络子堆上的限制是普遍闭的。
• 通过完备化和平坦性进行形变理论论证，构造具有 $p$-曲率指数 $l$ 的 $t$-联络的半稳定模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 Higgs 丛的 Hitchin 映射能否在正特征下于仿射直线上被非平凡地形变？
• RQ2 在特征 $p > 0$ 下，$t$-联络的 $p$-曲率类比的特征多项式具有何种性质？
• RQ3 Hitchin 映射的形变是否保持半稳定区域上的几何性质，如普遍闭性？
• RQ4 $t$-联络的特征多项式的 $p^\text{th}$-次幂性质如何反映其结构？
• RQ5 是否存在一个具有 $p$-曲率指数 $l$ 的 $t$-联络在离散赋值环上的半稳定模型？

主要发现

• 如命题 3.2 所证，$t$-联络的 $p$-曲率类比的特征多项式为 $p^\text{th}$-次幂。
• 该 $p^\text{th}$-次幂性质使得能够构造一个映射 $H: \mathcal{C}(r,X) \to W \times \mathbb{A}^1$，该映射在 $\mathbb{A}^1$ 上形变了 Hitchin 映射。
• 映射 $H$ 在 $t=0$ 处限制为经典 Hitchin 映射，从而恢复了 Higgs 丛的模空间。
• 映射 $H$ 在半稳定幂零 $t$-联络子堆上的限制是普遍闭的。
• 通过 Harder-Narasimhan 分次和代数化方法，构造了具有 $p$-曲率指数 $l$ 的 $t$-联络在离散赋值环上的半稳定模型。
• 利用 $t$-联络的通用纤维斜率 $\alpha > 0$ 的矛盾论证，确认了半稳定模型的存在性，从而证明了普遍闭性结果。