[论文解读] On the Hodge group and invariant cycles of a simple Abelian variety with a stable reduction of odd toric rank

Olga V. Oreshkina|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明了具有稳定减少和奇数环秩的绝对简单阿贝尔簇的霍奇群是半单的，且在额外条件下——特别是奇数维时——该类阿贝尔簇满足霍奇猜想。此外，本文还证明了曲线上的阿贝尔簇之间态射与它们的一阶上同调层之间态射的范畴之间存在典范同构，从而在该设定下证实了格罗滕迪克关于不变循环的猜想。

ABSTRACT

The semi-simplicity of the Hodge group is proved for a simple Abelian variety with a stable reduction of odd toric (reductive) rank. If, besides, the dimension of the Abelian variety is an odd integer, then the Hodge conjecture on algebraic cycles holds for it.

研究动机与目标

• 研究具有稳定减少和奇数环秩的绝对简单阿贝尔簇的霍奇群结构。
• 确定此类阿贝尔簇满足霍奇猜想的条件。
• 建立阿贝尔簇之间态射与它们的一阶上同调层之间态射之间的典范同构。
• 验证具有稳定减少和奇数环秩的曲线上的阿贝尔簇满足格罗滕迪克关于不变循环的猜想。

提出的方法

• 利用离散赋值环上阿贝尔簇的内罗模型分析特殊纤维的结构，特别是其环与阿贝尔分量。
• 通过平展扩张进行基变换，以确保特殊纤维的环分量在剩余域上完全分裂。
• 利用内罗模型的普遍性质，将一般纤维的自同态与特殊纤维的自同态联系起来。
• 通过将自同态代数嵌入到 ℚ 上的矩阵代数中，推导出当环秩为奇数时代数结构的约束。
• 应用德利涅关于单值表示和基本群像的扎里斯基闭包的定理，将单值群与霍奇群联系起来。
• 应用穆斯塔芬定理，推导出曲线上的阿贝尔簇之间 Hom-簇与上同调 Hom-函子之间的典范同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有稳定减少和奇数环秩的绝对简单阿贝尔簇的霍奇群是半单的？
• RQ2 此类阿贝尔簇的霍奇猜想在何种条件下成立，特别是与环秩和维数的关系如何？
• RQ3 曲线上的阿贝尔簇之间态射与它们的一阶上同调层之间态射之间有何关系？
• RQ4 具有稳定减少和奇数环秩的曲线上的阿贝尔簇是否满足格罗滕迪克关于不变循环的猜想？

主要发现

• 具有稳定减少和奇数环秩的绝对简单阿贝尔簇的霍奇群是半单的。
• 自同态代数与 ℚ 的张量积是 ℚ 上的完全实数域，且其次数为奇数。
• 当阿贝尔簇的维数为奇数时，其在 ℂ 上的霍奇群的李代数类型为 $ C_{g/e} \times \bigcdots \times C_{g/e} $，共 $ e $ 个副本。
• 对于任意 $ p \neq 0 $，霍奇循环空间 $ [\bigwedge^{2p} H^1(J, \bbQ)]^{\text{Hg}(J)} $ 由除子交的类生成。
• 此类阿贝尔簇满足霍奇猜想，因为霍奇循环由代数循环生成。
• 对于具有奇数环秩稳定减少的曲线 $ C $ 上的阿贝尔簇 $ \rho_{X/C}: X \to C $，存在典范同构 $ \text{Hom}_C(X,Y) \to \text{Hom}(R_1 \rho_{X/C*}\bbZ, R_1 \rho_{Y/C*}\bbZ) $，且格罗滕迪克关于不变循环的猜想成立。