[论文解读] On the Hodge theory of stratified spaces

Pierre Albin|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 45被引用 6

一句话总结

本文通过使用迭代爆破将分层伪流形解析为带角流形，将霍奇理论推广至分层伪流形，将奇异性推广至中等奇异性，并在切赫空间上建立诺维科夫猜想的解析证明。研究显示，局部对称空间的约化博尔-塞尔 compactification 可被解析为带角流形与迭代纤维丛结构，从而在奇异空间上实现解析指标理论。

ABSTRACT

This article is a survey of recent work of the author, together with Markus Banagl, Eric Leichtnam, Rafe Mazzeo, and Paolo Piazza, on the Hodge theory of stratified spaces. We discuss how to resolve a Thom-Mather stratified space to a manifold with corners with an iterated fibration structure and the generalization of a perversity in the sense of Goresky-MacPherson to a mezzoperversity. We define Cheeger spaces and their signatures and describe how to carry out the analytic proof of the Novikov conjecture on these spaces. Finally we review the reductive Borel-Serre compactification of a locally symmetric space to a stratified space and describe its resolution to a manifold with corners.

研究动机与目标

• 将切赫的 $L^2$-霍奇理论从锥奇点推广至一般分层伪流形。
• 将交化解析中的奇异性概念推广至中等奇异性，以适用于分析应用。
• 利用 $C^*$-代数丛与指标理论，为切赫空间上的诺维科夫猜想提供解析证明。
• 将局部对称空间的约化博尔-塞尔 compactification 解析为带角流形与迭代纤维丛结构。
• 建立一个使用分析方法研究奇异空间上示性类与高阶示性类的框架。

提出的方法

• 通过博尔-塞尔 compactification 的总边界爆破，将托姆-梅瑟分层空间解析为带角流形。
• 将切赫空间定义为带有楔形度量的分层空间，使得 $L^2$-上同调表现良好并满足庞加莱对偶性。
• 将戈雷斯基-麦克唐纳的奇异性推广至中等奇异性，以控制奇异空间上的 $L^2$-调和形式与上同调。
• 使用 $L^2$-de Rham 复形中极大与极小定义域的 de Rham 算子 $\eth_{\text{dR}}$ 来定义 $L^2$-上同调。
• 应用带有 $C^*$-代数丛的族的阿蒂亚-辛格指标定理，证明切赫空间上的诺维科夫猜想。
• 利用抛物子群的有理朗兰兹分解，在解析空间 $\Gamma\backslash\widetilde{X}$ 上构造迭代纤维丛结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 切赫空间的解析霍奇理论能否从魏特定理空间推广至更广泛的分层伪流形类？
• RQ2 奇异性概念如何推广至中等奇异性，以控制奇异空间上的 $L^2$-上同调？
• RQ3 能否利用 $C^*$-代数丛与指标理论，在切赫空间上实现诺维科夫猜想的解析证明？
• RQ4 局部对称空间的约化解析博尔-塞尔 compactification 作为带角流形的结构为何？
• RQ5 解析空间上的迭代纤维丛结构如何由抛物子群的有理朗兰兹分解所导出？

主要发现

• 解析后的博尔-塞尔 compactification $\Gamma\backslash\widetilde{X}$ 是一个带角流形，并具有迭代纤维丛结构。
• 局部对称空间的约化解析博尔-塞尔 compactification $\widehat{M}$ 是通过按余维数非减顺序坍缩纤维丛映射的纤维而得到的。
• $\widehat{M}$ 的解析 $\Gamma\backslash\widetilde{X}$ 同构于博尔-塞尔 compactification 的总边界爆破。
• 切赫空间支持定义良好的 $L^2$-上同调，满足庞加莱对偶性，并同构于具有中等奇异性的交化解析。
• 通过 $C^*$-代数丛与族的阿蒂亚-辛格指标定理，实现了切赫空间上诺维科夫猜想的解析证明。
• 解析空间 $\Gamma\backslash\widetilde{X}$ 上的迭代纤维丛结构源自对称空间 $\widetilde{X}$，通过等变纤维丛映射 $\Psi_P$ 与 $\Psi_Q$ 所继承。