[论文解读] On the Holomorphy of Exterior-Square L-functions

Dustin David Belt|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 11

一句话总结

本文建立了扭部分外平方 L 函数 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 到整个复平面的亚纯延拓，表明当 $r = \dim \pi$ 为偶数时，其可能的极点仅为位于 $s = 1$ 和 $s = 0$ 处的一阶极点。证明依赖于构造局部 Jacquet-Shalika 积分的亚纯延拓，并证明其在任意 $s_0$ 处非零，通过解析延拓与 Whittaker 函数技巧，将 Jacquet 和 Shalika 的方法扩展至绝对收敛区域之外。

ABSTRACT

In this paper, we show that the twisted partial exterior-square $L$-function has a meromorphic continuation to the whole complex plane with only two possible simple poles at $s=1$ and $s=0$. We do this by establishing the nonvanishing of the local zeta integrals defined by Jacquet and Shalika for any fixed $s_0$. The even case is treated in detail. The odd case is treated briefly, in which case, the $L$-function is shown to be entire.

研究动机与目标

• 建立扭部分外平方 L 函数 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 到整个复平面的亚纯延拓。
• 证明当 $r$ 为偶数时，$L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 的所有可能极点均为一阶，且仅位于 $s = 1$ 和 $s = 0$ 处。
• 将 Jacquet 和 Shalika 的方法扩展至绝对收敛区域之外，通过证明局部积分的亚纯延拓。
• 证明局部 zeta 积分在任意 $s_0 \in \mathbb{C}$ 处非零，从而通过 Eisenstein 系列技巧实现极点检测。
• 单独处理奇数情形，证明当 $r$ 为奇数时，L 函数为整函数。

提出的方法

• 利用 Jacquet-Shalika zeta 积分对扭部分外平方 L 函数进行积分表示。
• 将全局积分表示为局部积分 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$ 的乘积，其中 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$ 定义在 $\mathrm{GL}_n(F_\nu) \times \mathrm{M}_n(F_\nu)$ 上。
• 应用文献 [13] 中的结果，选取 Whittaker 函数 $W_\nu$，使得局部积分 $J_1(s, h, \chi_\nu, W_\nu)$ 对所有 $s$ 绝对收敛，从而为整函数。
• 建立局部积分 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$ 到 $\mathbb{C}$ 的亚纯延拓，且对 $h$ 连续依赖，确保全局积分的亚纯性。
• 利用在任意 $s_0$ 处亚纯延拓后的局部积分非零，证明全局 L 函数在 $s_0$ 处不可能有极点，除非 $s_0 = 1$ 或 $s_0 = 0$。
• 对于奇数情形，利用当 $\Re(s) \gg 0$ 时积分的绝对收敛性，以及局部积分的非零性，证明 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 为整函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\pi$ 是 $\mathrm{GL}_r(\mathbb{A}_F)$ 上的 cuspidal 自守表示时，扭部分外平方 L 函数 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 的可能极点位置为何？
• RQ2 定义外平方 L 函数的局部 zeta 积分能否在其绝对收敛区域之外进行解析延拓？
• RQ3 即使在 $s_0$ 处积分不绝对收敛，是否仍可确保局部积分在任意固定 $s_0 \in \mathbb{C}$ 处非零？
• RQ4 当 $r = \dim \pi$ 为偶数或奇数时，L 函数的解析性质有何不同？
• RQ5 Jacquet 和 Shalika 的方法能否被扩展，以证明 L 函数在绝对收敛半平面之外的亚纯延拓？

主要发现

• 当 $r$ 为偶数时，扭部分外平方 L 函数 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 可亚纯延拓至 $\mathbb{C}$，且最多在 $s = 1$ 和 $s = 0$ 处有一阶极点。
• 在任意 $s_0 \in \mathbb{C}$ 处，亚纯延拓后局部 zeta 积分的非零性确保 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 在 $s_0$ 处不可能有极点，除非 $s_0 = 1$ 或 $s_0 = 0$。
• 对于奇数情形（$r = 2n+1$），L 函数 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ 为整函数，因为全局积分对所有 $s$ 绝对收敛，且局部积分为全纯函数。
• 局部积分 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$ 允许亚纯延拓至 $\mathbb{C}$，且对任意 $s_0$，存在一个 Whittaker 向量 $W_\nu$ 使得 $J(s_0, \chi_\nu, W_\nu) \neq 0$。
• 全局 L 函数表示为局部因子与有限个分歧素位上的 Euler 乘积之积，其全纯性由任意 $s_0$ 处局部因子的非零性所决定。
• 结果确认，L 函数的解析行为完全由 Eisenstein 系列的全局结构以及 zeta 积分的非零性决定，与 Langlands 的函子性猜想一致。