[论文解读] On the homogenization of the Helmholtz problem with thin perforated walls of finite length

Adrien Semin, Bérangère Delourme+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用 14

一句话总结

本文针对二维有薄层周期性有限长度穿孔壁的区域中的Helmholtz方程，提出了一阶渐近展开的二阶修正。通过结合周期性表面均质化与匹配渐近展开，该方法捕捉了边界层和角奇点。该方法在等效界面上导出传输条件，并通过角条件消除无界奇点，从而实现与小周期δ无关的计算成本下的高精度解。

ABSTRACT

In this work, we present a new solution representation for the Helmholtz transmission problem in a bounded domain in $\\mathbb{R}^2$ with a thin and periodic layer of finite length. The layer may consists of a periodic pertubation of the material coefficients or it is a wall modelled by boundary conditions with an periodic array of small perforations. We consider the periodicity in the layer as the small variable $\\delta$ and the thickness of the layer to be at the same order. Moreover we assume the thin layer to terminate at re-entrant corners leading to a singular behaviour in the asymptotic expansion of the solution representation. This singular behaviour becomes visible in the asymptotic expansion in powers of $\\delta$ where the powers depend on the opening angle. We construct the asymptotic expansion order by order. It consists of a macroscopic representation away from the layer, a boundary layer corrector in the vicinity of the layer, and a near field corrector in the vicinity of the end-points. The boundary layer correctors and the near field correctors are obtained by the solution of canonical problems based, respectively, on the method of periodic surface homogenization and on the method of matched asymptotic expansions. This will lead to transmission conditions for the macroscopic part of the solution on an infinitely thin interface and corner conditions to fix the unbounded singular behaviour at its end-points. Finally, theoretical justifications of the second order expansion are given and illustrated by numerical experiments. The solution representation introduced in this article can be used to compute a highly accurate approximation of the solution with a computational effort independent of the small periodicity $\\delta$.

研究动机与目标

• 为有薄层周期性有限长度穿孔或材料扰动的有界二维区域中的Helmholtz透射问题建模。
• 考虑两种不同的奇点行为：周期界面附近的边界层，以及由于内角引起的层端点处的角奇点。
• 构建一个二阶渐近展开，通过匹配渐近展开与周期性均质化，同时捕捉宏观行为与局部校正。
• 在无限薄界面上推导出有效传输条件，并在端点处引入角条件以消除无界奇点行为。
• 提供一个理论合理且计算高效的解近似方法，其计算成本与小参数δ无关。

提出的方法

• 将解分解为宏观部分、边界层校正项（切向方向周期性，法向方向指数衰减）以及角奇点的近场校正项。
• 通过周期性表面均质化推导边界层校正项，求解具有周期δ且距界面距离为d/δ处衰减的典型问题。
• 在层端点附近，利用匹配渐近展开构造近场校正项，其基于具有振荡边界的无限锥形区域中的解。
• 该方法采用双尺度渐近展开，形式为(R±)λ(R±)k ln(R±)m，其中R±为距角点的径向距离，λ由顶角Θ确定。
• 通过在轮廓上施加正交性条件，当λn−q ∈ π/Θ ℤ* 或 λn−q = 0 时，确保奇点解的唯一性。
• 完整解表示为宏观项、边界层校正项与近场校正项的叠加，其系数通过在锥形区域中求解典型问题确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有薄层周期性有限长度穿孔壁的区域中的Helmholtz方程构造一个二阶渐近展开？
• RQ2 在等效界面上，应如何确定能捕捉解宏观行为的有效传输条件？
• RQ3 如何从数学上表征并解决薄层周期性层端点处出现的角奇点？
• RQ4 顶角Θ在决定奇点行为及渐近展开中δ的幂次方面起什么作用？
• RQ5 该渐近解能否在理论上与数值上得到验证，且其计算成本与小参数δ无关？

主要发现

• 渐近展开已构建至二阶，包含宏观项、边界层校正项与近场校正项，且具有严格的理论依据。
• 边界层校正项为具有周期δ的切向周期性、法向衰减比例为e−d/δ的指数衰减函数，其中d为距界面的距离。
• 近场校正项来源于具有振荡边界的无限锥形区域中的解，其捕捉了在内角处的奇点行为，其δ的幂次取决于顶角Θ。
• 该方法在无限薄界面上导出有效传输条件，源自周期性表面均质化；并引入角条件以消除无界奇点。
• 解的表示形式允许对Helmholtz解实现高精度近似，且计算成本与δ无关，数值实验已验证此结论。
• 当λn−q ∈ π/Θ ℤ* 或 λn−q = 0 时，通过正交性条件恢复校正函数的唯一性，确保渐近系统具有适定性。