[论文解读] On the Homogenized Linial Arrangement: Intersection Lattice and Genocchi Numbers

Alexander Lazar, Michelle L. Wachs|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 5

一句话总结

本文通过一种新的排列类——D-排列，为齐次Linial排列的交集格的Möbius函数提供了组合解释。通过建立与分拆格的一个子偏序集的格同构，并构造与满射枪支之间的双射，作者推导出特征多项式的生成函数，并证明该Möbius不变量为非中位Genocchi数，进一步将结果推广至类型B和Dowling排列，并引入m-标记的类比。

ABSTRACT

Hetyei recently introduced a hyperplane arrangement (called the homogenized Linial arrangement) and used the finite field method of Athanasiadis to show that its number of regions is a median Genocchi number. These numbers count a class of permutations known as Dumont derangements. Here, we take a different approach, which makes direct use of Zaslavsky's formula relating the intersection lattice of this arrangement to the number of regions. We refine Hetyei's result by obtaining a combinatorial interpretation of the M\\"obius function of this lattice in terms of variants of the Dumont permutations. This enables us to derive a formula for the generating function of the characterisitic polynomial of the arrangement. The M\\"obius invariant of the lattice turns out to be a (nonmedian) Genocchi number. Our techniques also yield type B, and more generally Dowling arrangement, analogs of these results.

研究动机与目标

• 为齐次Linial排列的交集格的Möbius函数提供组合解释。
• 通过将其与D-排列关联，细化Hetyei的结果，即区域数等于中位Genocchi数。
• 通过m-标记排列和标记分拆格，将结果推广至类型B和Dowling排列。
• 利用D-排列推导出该排列特征多项式的生成函数。
• 证明该格的Möbius不变量为非中位Genocchi数，从而提供一种新的组合解释。

提出的方法

• 证明齐次Linial排列的交集格同构于分拆格Π2n的一个诱导子偏序集，该子偏序集由所有非单元素块的最小元素为奇数、最大元素为偶数的分拆构成。
• 在[2n]上定义了一类新的排列，称为D-排列，其具有特定的循环和标记条件：包含2n的循环中的循环极小值和从右到左的极小值必须标记为0。
• 在格的NBC集合与m-标记D-排列之间构造双射，从而获得Möbius函数的组合公式。
• 应用Rota-Whitney公式计算格的Möbius函数，得到特征多项式表达式，其以与D-排列相关的带符号第一类Stirling数表示。
• 为类型B和Dowling排列开发m-标记类比，引入在Zm上具有循环和标记约束的m-标记D-排列。
• 使用Orlik-Solomon公式将特征多项式与C2n中排列补集的贝蒂数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 齐次Linial排列的交集格的Möbius函数如何进行组合解释？
• RQ2 除了Hetyei的中位Genocchi结果外，齐次Linial排列的区域数与Genocchi数之间存在何种联系？
• RQ3 能否通过标记排列将结果推广至类型B和Dowling排列？
• RQ4 齐次Linial排列的特征多项式的生成函数如何用组合对象表示？
• RQ5 该格的Möbius不变量是什么？它与非中位Genocchi数有何关系？

主要发现

• 齐次Linial排列的交集格的Möbius函数为 (−1)^{|π|}μ(0̂,π) = |{σ ∈ D2n^m : cyc(σ) = π}|，其中D2n^m为m-标记D-排列的集合。
• 该排列的特征多项式为 χL(H2n−1)(t) = ∑k=1^{2n} sD,m(2n,k) t^{k−1}，其中 (−1)^k sD,m(2n,k) 计数具有k个循环的m-标记D-排列。
• 区域数为 |χL(H2n−1)(−1)| = |D2n^m|，且Möbius不变量 μ(0̂,1̂) = −|DC2n^m|，其中DC2n^m为m-标记D-循环的集合。
• 生成函数 ∑n≥1 χL(H2n−1)(t) x^n 表示为 ∑n≥1 (t−1)n,m (t−m)n−1,m x^n / ∏k=1^n (1 − mk(t−mk)x)，其中 (a)n,m = a(a−m)(a−2m)⋯(a−(n−1)m)。
• Möbius不变量为非中位Genocchi数：μ(0̂,1̂) = −m^{2n−1} G_n(m^{-1})，其中G_n(x)为Gandhi多项式。
• m-标记D-排列与满射枪支之间存在双射，从而恢复并扩展了Hetyei的结果，实现了特征多项式与Genocchi数公式在m-标记下的完整类比。