[论文解读] On the homological mirror symmetry conjecture for pairs of pants and affine Fermat hypersurfaces

Nicholas Sheridan|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文在n维鞋带空间（即CP^n中n+2条一般超平面的补集）中构造了一个浸入的拉格朗日子流形，并计算了其在Fukaya范畴中的自同态A∞代数。结果表明，该代数与镜像Landau-Ginzburg模型（C^{n+2}, W = z₁⋯z_{n+2}）中原点处结构层的自同态dg代数 quasi-isomorphic，为鞋带空间及仿射Fermat超曲面的同调镜像对称猜想提供了证据。

ABSTRACT

The n-dimensional pair of pants is defined to be the complement of n+2 generic hyperplanes in CP^n. We construct an immersed Lagrangian sphere in the pair of pants and compute its endomorphism A_{\infty} algebra in the Fukaya category. On the level of cohomology, it is an exterior algebra with n+2 generators. It is not formal, and we compute certain higher products in order to determine it up to quasi-isomorphism. This allows us to give some evidence for the homological mirror symmetry conjecture: the pair of pants is conjectured to be mirror to the Landau-Ginzburg model (C^{n+2},W), where W = z_1 ... z_{n+2}. We show that the endomorphism A_{\infty} algebra of our Lagrangian is quasi-isomorphic to the endomorphism dg algebra of the structure sheaf of the origin in the mirror. This implies similar results for finite covers of the pair of pants, in particular for certain affine Fermat hypersurfaces.

研究动机与目标

• 为n维鞋带空间的情形提供同调镜像对称猜想的证据。
• 在鞋带空间中构造一个浸入的拉格朗日子流形，并计算其在Fukaya范畴中的自同态A∞代数。
• 证明该A∞代数与镜像Landau-Ginzburg模型中原点处结构层的自同态dg代数 quasi-isomorphic。
• 将结果推广至鞋带空间的有限覆盖，包括仿射Fermat超曲面。

提出的方法

• 将n维鞋带空间中的浸入拉格朗日子流形构造为拉格朗日子流形。
• 使用Floer理论计算该拉格朗日子流形在Fukaya范畴中的自同态A∞代数。
• 分析A∞代数的上同调，证明其同构于具有n+2个生成元的外代数。
• 通过计算高阶A∞乘积，证明该A∞代数不是形式的。
• 建立该拉格朗日子流形的自同态A∞代数与镜像Landau-Ginzburg模型中原点处结构层的自同态dg代数之间的quasi-isomorphism。
• 通过Fukaya范畴与导出范畴中的拉回构造，将结果应用于鞋带空间的有限覆盖，包括仿射Fermat超曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 鞋带空间中所构造的拉格朗日子流形的自同态A∞代数是否与镜像Landau-Ginzburg模型中结构层在原点处的自同态dg代数quasi-isomorphic？
• RQ2 高阶A∞乘积如何在区分A∞代数与其上同调方面发挥作用？
• RQ3 能否通过此拉格朗日子流形构造验证鞋带空间的同调镜像对称猜想？
• RQ4 该结果是否可推广至鞋带空间的有限覆盖，如仿射Fermat超曲面？
• RQ5 该拉格朗日子流形的A∞代数在生成元与关系方面的精确结构为何？

主要发现

• 鞋带空间中浸入拉格朗日子流形的自同态A∞代数的上同调同构于具有n+2个生成元的外代数。
• 由于高阶乘积非平凡且对确定其quasi-isomorphism类至关重要，该A∞代数不是形式的。
• 该A∞代数与镜像Landau-Ginzburg模型（C^{n+2}, W = z₁⋯z_{n+2}）中原点处结构层的自同态dg代数quasi-isomorphic。
• 该quasi-isomorphism为鞋带空间情形下的同调镜像对称猜想提供了强有力证据。
• 通过镜像对称对应关系，该结果可推广至鞋带空间的有限覆盖，包括仿射Fermat超曲面。
• 该构造与计算在Fukaya范畴中的拉格朗日子流形与镜像的导出范畴中的凝聚层之间建立了明确联系。