[论文解读] On the homology of open-closed string theory

Eric Harrelson|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文研究了零亏格开-闭弦PROP的同调，聚焦于具有开与闭穿孔的黎曼曲面所引出的代数结构。本文将Getzler在闭弦情形下的BV代数结果推广至开-闭设定，表明开-闭模空间的同调在一对分次向量空间上定义了一个瑞士奶酪代数，该代数同时推广了Gerstenhaber代数与BV代数。

ABSTRACT

In Zwiebach’s study of oriented open-closed string theory [18], he considered a certain moduli space of Riemann Surfaces with boundary having “closed” punctures in the interior and “open” punctures on the boundary coming with parameterizations by the unit disk and upper half disk. While he did not consider it as such, this moduli space forms a 2-colored PROP. The first purpose of this paper is to describe completely the homology of the biggest genus 0 structure inside this PROP. The operad inside of this PROP formed by spheres with no boundary is well known to be homotopy equivalent to the framed little disks operad. It is shown by Getzler that its homology defines a BV-algebra [7]. This extends the result by Cohen [4] showing that the homology of the non-framed little disks operad describes a Gerstenhaber algebra. In [17], Voronov invented the Swiss-cheese operad which is a (non framed) finite dimensional model of the operad inside this PROP formed by Riemann spheres with one or no boundary components. He computed its homology and calls the algebra that it defines a Swiss-cheese algebra. The algebra is defined on a pair of graded vector spaces ( , ) C O V V and consists of a Gestenhaber structure on

研究动机与目标

• 描述开-闭弦理论中2-着色PROP内最大零亏格结构的同调。
• 将Getzler在闭弦情形下关于BV代数结构的结果推广至开-闭设定。
• 提供开-闭弦操作族的完整同调描述，推广Voronov引入的瑞士奶酪操作族。
• 阐明由同时具有开与闭穿孔的黎曼曲面的同调所定义的代数结构。
• 在模空间与瑞士奶酪代数的代数公理之间建立同伦理论联系。

提出的方法

• 分析具有边界、内部为闭穿孔、边界上为开穿孔的零亏格黎曼曲面的模空间，每个穿孔均配备圆盘参数化。
• 识别无边球面的操作族同伦等价于带框架的小圆盘操作族，利用Getzler与Cohen的已知结果。
• 将Voronov的瑞士奶酪操作族用作开-闭结构的有限维模型，利用其同调定义目标代数结构。
• 通过组合闭与开分量的同伦类型，构建零亏格开-闭PROP的同调。
• 运用操作族与PROP理论技术，推导出同调满足的代数公理，重点关注开与闭运算之间的相互作用。
• 证明开-闭模空间的同调在一对分次向量空间 (V_O, V_C) 上支持一个瑞士奶酪代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 零亏格开-闭弦PROP的同调是什么？它如何推广闭弦情形？
• RQ2 开-闭模空间的同调如何编码瑞士奶酪代数的代数结构？
• RQ3 在零亏格下，带框架的小圆盘操作族与开-闭弦操作族之间有何关系？
• RQ4 开弦与闭弦运算在模空间的同调中如何相互作用？
• RQ5 开-闭模空间的同调能否被描述为BV代数结构的同伦理论推广？

主要发现

• 零亏格开-闭弦PROP的同调在一对分次向量空间 (V_O, V_C) 上定义了一个瑞士奶酪代数。
• 同调的闭弦部分支持一个BV代数结构，与Getzler关于带框架小圆盘操作族的结果一致。
• 同调的开弦部分携带一个Gerstenhaber代数结构，推广了Cohen关于非带框架小圆盘操作族的结果。
• 开与闭运算之间的相互作用满足瑞士奶酪代数的公理，包括闭代数对开代数的作用。
• 整体结构源于具有边界与穿孔的黎曼曲面模空间的拓扑性质。
• 该结果以代数操作族及其同伦类型为语言，提供了零亏格开-闭弦理论的完整同调描述。