[论文解读] On the homology theory of fibre spaces

Tornike Kadeishvili|ArXiv.org|Apr 21, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文在具有自由同调群的微分代数的同调上建立了 $A(\infty)$-代数结构，实现了纤维空间经典同调理论的同伦理论提升。关键贡献是构造了一个从该同调 $A(\infty)$-代数到原始代数的 $A(\infty)$-同态，其在同调上诱导同构，推广了 $\tilde{B}$-构造，并统一了纤维丛与环路空间中的谱序列计算。

ABSTRACT

The $A(\inft)$-algebra structure in homology of a DG-algebra is constructed. This structure is unique up to isomorphism of $A(\infty)$ algebras. Connection of this structure with Massey products is indicated. The notion of $A(\infty)$-module over an $A(\infty)$-algebra is introduced and such a structure is constructed in homology of a DG-modules over a DG-algebra. The theory of twisted tensor products is generalized from the case of DG-algebras to the case of $A(\infty)$-algebras. These algebraic results are used to describe homology of classifying spaces, cohomology of loop spaces, and homology of fibre bundles.

研究动机与目标

• 将微分代数的经典 $B$-构造推广至使用 $A(\infty)$-代数的同伦理论框架。
• 当微分代数的同调群为自由时，为其同调构造更高同伦结构。
• 在纤维丛设定下，建立该 $A(\infty)$-结构的 $\tilde{B}$-构造与分类空间或环路空间同调之间的同伦等价。
• 通过用更高 $A(\infty)$ 运算与扭曲余链表达微分，推广 Shi 的谱序列结果。

提出的方法

• 引入 $A(\infty)$-代数的范畴 $A(\infty)$，其中高阶运算 $m_i$ 满足广义结合关系（Stasheff 的 $A(\infty)$-关系）。
• 通过 $\tilde{B}$-构造将 $A(\infty)$-代数与微分余代数对应起来，将 $A(\infty)$-代数 $(M, \{m_i\})$ 映射为张量余代数 $T^c(M)$，其微分 $d_m$ 由 $m_i$ 运算定义。
• 对于同调群为自由的微分代数 $C$，在 $H(C)$ 上构造 $A(\infty)$-代数结构 $\{X_i\}$，从 $X_1 = 0$ 和 $X_2(a_1 \otimes a_2) = -\tilde{a}_1 \cdot a_2$ 开始，通过循环代表元递归定义更高阶的 $X_i$。
• 定义从 $H(C)$ 到 $C$ 的 $A(\infty)$-同态 $\{f_i\}$，其中 $f_1$ 在同调上诱导同构，通过选择循环并利用同调的自由性来校正同伦差异。
• 使用 $\tilde{B}$-构造将 $A(\infty)$-同态上提为微分余代数映射，建立 $\tilde{B}(H(C), \{X_i\})$ 与 $C$ 的 $B$-构造之间的同伦等价。
• 通过扭曲余链将该框架应用于纤维丛，证明 $H(F)$ 的 $\tilde{B}$-构造在 $\sim$-扭曲余链 $\phi^*$ 下的同调，同构于全空间 $E$ 的同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有自由同调群的微分代数的同调能否赋予一个捕捉其同伦性质的高阶代数结构？
• RQ2 是否存在一个从同调 $A(\infty)$-代数到原始代数的典范 $A(\infty)$-同态，使其在同调上诱导同构？
• RQ3 该 $A(\infty)$-结构的 $\tilde{B}$-构造如何与分类空间或环路空间同调等经典构造相关联？
• RQ4 纤维丛的谱序列中的微分能否用更高阶 $A(\infty)$ 运算与扭曲余链表达？
• RQ5 同调上的 $A(\infty)$-结构在 $A(\infty)$-同构意义下在多大程度上是唯一的？

主要发现

• 对于任意同调群 $H_i(C)$ 为自由的微分代数 $C$，存在一个在 $H(C)$ 上的典范 $A(\infty)$-代数结构 $\{X_i\}$，满足 $X_1 = 0$，$X_2(a_1 \otimes a_2) = -\tilde{a}_1 \cdot a_2$，且存在一个从 $(H(C), \{X_i\})$ 到 $(C, \{m_1, m_2, 0, \dots\})$ 的 $A(\infty)$-同态 $\{f_i\}$，其中 $f_1$ 在同调上诱导同构。
• $A(\infty)$-代数 $(H(C), \{X_i\})$ 的 $\tilde{B}$-构造与 $C$ 的 $B$-构造之间是拟同构的，从而实现了经典 $B$-构造的同伦理论提升。
• $\tilde{B}$-构造 $\tilde{B}(\bar{H}_*(G), \{X_i\})$ 的同调，同构于连通拓扑群 $G$ 的分类空间 $B_G$ 的同调，其中 $H_*(G)$ 为自由。
• $\tilde{B}$-构造 $\tilde{B}(\bar{H}^*(B, b_0), \{X_i\})$ 的同调，同构于单连通空间 $B$ 的环路空间 $\Omega B$ 的上同调，其中 $H^*(B, b_0)$ 为自由。
• 对于主 $G$-丛纤维化 $\xi$，其中 $G$ 连通且 $H_*(G)$、$H_*(F)$ 自由，$C_*(B) \otimes_{\phi^*} H_*(F)$ 的 $\sim$-扭曲张量积的同调，同构于全空间 $E$ 的同调，推广了 Shi 的结果。
• 同调上的 $A(\infty)$-结构在 $A(\infty)$-同构意义下是唯一的：任何两个此类结构在 $H(C)$ 上均通过一个 $A(\infty)$-同构关联，其首项为恒等映射。