[论文解读] On The Horadam Hybrid Quaternions

Ali Dağdeviren, Ferhat Kürüz|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2020

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文引入了霍拉姆混合四元数这一新颖的代数结构，将斐波那契数、卢卡斯数、佩尔数和雅可布斯塔回数统一于混合四元数框架内进行推广。推导了斐波那契与卢卡斯混合四元数的比内公式与卡西尼恒等式，通过特征方程 $x^2 - 2x - 1 = 0$ 的根建立其代数性质与递推关系。主要贡献在于通过闭式表达与恒等式关系，将经典数列与混合四元数统一起来。

ABSTRACT

In this paper, we define the Horadam hybrid quaternions and give some of their properties. Moreover, we investigate the relations between the Fibonacci hybrid quaternions and the Lucas hybrid quaternions which connected the Fibonacci quternions and Lucas quaternions. Furthermore, we give the Binet formulas and Cassini identities for these quaternions.

研究动机与目标

• 将经典数列——斐波那契数、卢卡斯数、佩尔数与雅可布斯塔回数——推广为混合四元数代数结构。
• 建立斐波那契与卢卡斯混合四元数与现有四元数系统的统一框架。
• 为这些广义四元数推导闭式表达（比内公式）与递推恒等式（卡西尼恒等式）。
• 探索霍拉姆混合四元数的代数性质，包括共轭、范数与乘法规则。
• 利用基于递推的数列，将混合数理论扩展至更高阶的超复数系统。

提出的方法

• 将霍拉姆混合四元数定义为 $ H_n = w_n + w_{n+1} \mathbf{i} + w_{n+2} \boldsymbol{\varepsilon} + w_{n+3} \mathbf{h} $，其中 $ w_n $ 遵循霍拉姆递推关系 $ w_n = p w_{n-1} - q w_{n-2} $。
• 利用比内公式 $ w_n = A\alpha^n + B\beta^n $，其中 $ \alpha, \beta $ 为方程 $ x^2 - px + q = 0 $ 的根，将混合四元数表示为闭式。
• 基于混合单位代数 $ \mathbf{i}^2 = -1, \boldsymbol{\varepsilon}^2 = 0, \mathbf{h}^2 = 1 $ 及其混合积，引入混合四元数的共轭 $ \widehat{H}_n^c $ 与范数 $ \| \widehat{H}_n \| $。
• 通过分配律与混合单位乘法表推导混合四元数的乘法规则。
• 建立斐波那契与卢卡斯混合四元数的比内公式为 $ \widehat{F}_n = \frac{\alpha^n \alpha^* \underline{\alpha} - \beta^n \beta^* \underline{\beta}}{\alpha - \beta} $，其中 $ \alpha^*, \beta^* $ 为混合共轭形式。
• 通过比内形式的代数运算证明斐波那契与卢卡斯混合四元数的卡西尼恒等式，得到 $ C_1 = (-1)^n \frac{\alpha\alpha^*\beta^*\underline{\alpha}\underline{\beta} - \beta\beta^*\alpha^*\underline{\beta}\underline{\alpha}}{\alpha - \beta} $ 与 $ C_2 = (-1)^n \sqrt{5} (\cdots) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将霍拉姆数列嵌入混合四元数代数中，以推广斐波那契与卢卡斯四元数？
• RQ2 基于特征方程根的霍拉姆混合四元数的闭式比内表达式是什么？
• RQ3 混合四元数的代数性质（范数、共轭、乘法）如何推广至基于霍拉姆数列的情形？
• RQ4 卡西尼恒等式能否推广至斐波那契与卢卡斯混合四元数？其形式如何？
• RQ5 斐波那契混合四元数与卢卡斯混合四元数在代数与递推结构上存在何种关系？

主要发现

• 斐波那契混合四元数的比内公式推导为 $ \widehat{F}_n = \frac{\alpha^n \alpha^* \underline{\alpha} - \beta^n \beta^* \underline{\beta}}{\alpha - \beta} $，其中 $ \alpha = 1 + \sqrt{2}, \beta = 1 - \sqrt{2} $，且 $ \alpha^*, \beta^* $ 为混合共轭形式。
• 斐波那契混合四元数的卡西尼恒等式为 $ \widehat{F}_{n+1}\widehat{F}_{n-1} - \widehat{F}_n^2 = (-1)^n \frac{\alpha\alpha^*\beta^*\underline{\alpha}\underline{\beta} - \beta\beta^*\alpha^*\underline{\beta}\underline{\alpha}}{\alpha - \beta} $，其具有特定的混合单位代数结构。
• 对于卢卡斯混合四元数，卡西尼恒等式为 $ \widehat{L}_{n+1}\widehat{L}_{n-1} - \widehat{L}_n^2 = (-1)^n \sqrt{5} (\alpha\alpha^*\beta^*\underline{\alpha}\underline{\beta} - \beta\beta^*\alpha^*\underline{\beta}\underline{\alpha}) $，显示出 $ \sqrt{5} $ 的直接缩放。
• 霍拉姆混合四元数的范数定义为 $ \| H_n \| = \sqrt{H_n H_n^c} $，其中共轭 $ H_n^c = w_n - w_{n+1} \mathbf{i} - w_{n+2} \boldsymbol{\varepsilon} - w_{n+3} \mathbf{h} $，保持混合代数结构。
• 两个混合四元数的乘法通过混合单位乘法表进行分量展开，形成非交换代数系统。
• 本文确立了斐波那契与卢卡斯混合四元数是霍拉姆混合四元数的特例，分别对应 $ p=2, q=-1 $ 及初始条件 $ w_0=0,w_1=1 $ 与 $ w_0=2,w_1=1 $。