[论文解读] On the identifiability of interaction functions in systems of interacting particles

Zhongyang Li, Fei Lu+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文通過證明強 coercivity 條件（等價於積分算子的嚴格正定性）在無限粒子極限下既是唯一恢復相互作用勢能所必需的也是充分的，從而確立了在隨機相互作用粒子系統中相互作用函數的可辨識性。分析依賴於 Müntz 型定理，以驗證 $ L^2 $ 空間中積分核的嚴格正定性。

ABSTRACT

We address a fundamental issue in the nonparametric inference for systems of interacting particles: the identifiability of the interaction functions. We prove that the interaction functions are identifiable for a class of first-order stochastic systems, including linear systems with general initial laws and nonlinear systems with stationary distributions. We show that a coercivity condition is sufficient for identifiability and becomes necessary when the number of particles approaches infinity. The coercivity is equivalent to the strict positivity of related integral operators, which we prove by showing that their integral kernels are strictly positive definite by using Müntz type theorems.

研究动机与目标

• 解決從粒子軌跡進行非參數相互作用函數推斷時的根本性不可辨識挑戰。
• 建立在相互作用粒子系統中，從觀測數據唯一恢復相互作用函數 $\phi$ 的條件。
• 研究 coercivity 條件在確保可辨識性中的作用，特別是在粒子數量巨大的極限下。
• 透過正定核與泛函分析工具，將可辨識性與積分算子的嚴格正定性相連接。
• 為線性系統提供可辨識性的充分條件，並探討具有穩態分佈的三粒子非線性系統。

提出的方法

• 將相互作用系統表述為一階隨機梯度系統，其中成對相互作用依賴於相對距離。
• 引入時間平均分佈 $\bar{\rho}_T$ 作為 $L^2(\bar{\rho}_T)$ 中推斷的自然測度。
• 透過與相互作用函數相關的積分算子的單射性定義可辨識性。
• 建立 coercivity 條件（等價於積分算子的嚴格正定性）是可辨識性的充分條件。
• 利用 Müntz 型定理證明，在相互作用勢能的弱條件下，積分核具有嚴格正定性。
• 應用正定核與負定函數的結果，以驗證線性與非線性系統中 coercivity 條件的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什麼條件下，相互作用函數 $\phi$ 可從相互作用粒子的觀測軌跡中被辨識？
• RQ2 在粒子數量趨於無限的極限下，coercivity 條件是否既是必要也是充分的？
• RQ3 coercivity 條件能否在線性系統與具有穩態分佈的非線性系統中被驗證？
• RQ4 與 $\phi$ 相關的積分算子結構如何與可辨識性相關？
• RQ5 正定核與 Müntz 型定理在建立積分算子嚴格正定性中發揮何種作用？

主要发现

• coercivity 條件是第一階隨機相互作用粒子系統中相互作用函數 $\phi$ 可辨識性的充分條件。
• 當粒子數 $N \to \infty$ 時，coercivity 條件成為可辨識性的必要條件。
• 對於具有一般初始分佈的線性系統，coercivity 條件成立，確保可辨識性。
• 對於具有穩態分佈的三粒子非線性系統，在相互作用勢 $\Phi(r) = r^{2\beta}$ 滿足某些假設下，coercivity 條件成立。
• 當核具有嚴格正定性時，與相互作用函數相關的積分算子為嚴格正定，此性質透過在半直線上應用 Müntz 型定理得以驗證。
• 在指數矩條件下，$\{r^{2k}\}_{k=1}^\infty$ 在 $L^2([0,\infty), \rho)$ 中的完備性確保核不退化，從而支持 coercivity 條件。