[论文解读] On the image of l-adic Galois representations for abelian varieties of type I and II

Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda+1 more|ArXiv.org|Jul 14, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文明确定義了在數體上類型 I 和 II 的阿貝爾簇（依阿伯特分類）的 l-進伽羅瓦表示的像，驗證了大量此類簇的 Mumford-Tate、Hodge、Tate 和 Lang 猜想。本文證明了 Serre 的開像定理之類似結果，顯示當 l 足夠大時，其像為在自同態域的 l-進完備化上的辛群之 Weil 範疇的積。

ABSTRACT

In this paper we investigate the image of the $l$-adic representation attached to the Tate module of an abelian variety over a number field with endomorphism algebra of type I or II in the Albert classification. We compute the image explicitly and verify the classical conjectures of Mumford-Tate, Hodge, Lang and Tate, for a large family of abelian varieties of type I and II. In addition, for this family, we prove an analogue of the open image theorem of Serre.

研究动机与目标

• 確定阿伯爾簇在阿伯特分類中類型 I 和 II 的 Tate 模上 l-進伽羅瓦表示的精確像。
• 驗證具有複乘法的廣泛類別阿貝爾簇的經典 Mumford-Tate、Hodge、Lang 和 Tate 猜想。
• 為此類阿貝爾簇建立 Serre 的開像定理之類似結果，顯示其像在 l-進整數上的代數群中為開集。

提出的方法

• 使用有限域擴張上的 Weil 範疇函子 R_{L/K} 來分析數域上伽羅瓦表示的結構。
• 應用 Chi 對類型 II 阿貝爾簇之 l-進表示的李代數與自同態代數之整數版本結果。
• 運用雙線性型理論來研究 Weil 配對及其與伽羅瓦作用的相容性。
• 分析伽羅瓦像的 Zariski 闭包，並計算代數單變換群的交換子子群。
• 應用 Tankeev 和 Ribet 對 Hodge 群與伽羅瓦表示之結果，以驗證 Hodge 與 Tate 猜想。
• 使用 Wintenberger 定理證明對大 l 時，像包含位似變換，從而驗證 Lang 猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿伯特分類中，類型 I 或 II 的阿貝爾簇的 Tate 模上 l-進伽羅瓦表示的精確像是什麼？
• RQ2 對於具有非交換自同態代數的類型 I 和 II 阿貝爾簇，Mumford-Tate 猜想是否成立？
• RQ3 能否為此類阿貝爾簇建立 Serre 的開像定理之類似結果？
• RQ4 在給定條件下，Hodge 與 Tate 猜想是否對類型 I 和 II 的阿貝爾簇成立？
• RQ5 對大 l 時，伽羅瓦表示的像是否在 l-進代數群中為開集？

主要发现

• 對於類 A 的阿貝爾簇及足夠大的 l，Zariski 闭包的 l-進伽羅瓦像之交換子子群，同構於在 l 上方的 l-進素數上，Sp_{2h} 在 Q_l 上的 Weil 範疇之積。
• 模 l 伽羅瓦像的交換子子群同構於有限域 k_λ 上的 Weil 範疇之 Sp_{2h} 的積。
• Mumford-Tate 猜想成立：對所有 l，有 G_l^{alg} = MT(A) ⊗ Q_l。
• 透過結合 Tankeev 和 Ribet 的技術與 Hodge 群分析，驗證了類 A 阿貝爾簇的 Hodge 與 Tate 猜想。
• 伽羅瓦群的像在 G_l^{alg}(Z_l) 中為開集，且包含位似變換群，從而確認 Lang 猜想。
• 證明了 Serre 的開像定理之類似結果：ρ_l(G_F) 在 C_R(GSp_{(Λ,ψ)})(Z_l) 中為開集，且具有有限指數。