[论文解读] On the images of the Galois representations attached to genus 2 Siegel modular forms

Luís Dieulefait|ArXiv.org|Sep 25, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文确定了水平为1、重数为1的亏格2 Siegel尖点形式所附着的伽罗华表示的像，证明其在几乎所有素数下均为最大可能——等于最大辛群 $ A_{\theta}^k $——前提是该形式不是 Maass spezialform，且其傅里叶系数生成域满足额外条件。证明结合了 $ \mathrm{PGL}(4,\mathbb{F}_q) $ 的极大子群分类、Fontaine–Laffaille 理论对弗罗贝尼乌斯子群像的分析，以及二维表示的 Serre 猜想。

ABSTRACT

We address the problem of the determination of the images of the Galois representations attached to genus 2 Siegel cusp forms of level 1 having multiplicity one. These representations are symplectic. We prove that the images are as large as possible for almost every prime, if the Siegel cusp form is not a Maass spezialform and verifies two easy to check conditions.

研究动机与目标

• 确定水平为1、重数为1的亏格2 Siegel 尖点形式所附着的伽罗华表示的像。
• 建立这些辛伽罗华表示在 $ \mathrm{GSp}(4,\overline{\mathbb{Q}}_\ell) $ 中图像最大的条件。
• 证明在几乎每个素数 $ \lambda $ 下，图像均为最大可能——等于 $ A_{\lambda}^k $——假设 Serre 猜想及额外数论条件。
• 通过引入对傅里叶系数判别式的要求，消除对 Serre 猜想的依赖，该条件在显式例子中已验证。
• 证明若对无穷多个 $ \lambda $，残像表示为可约，则 $ \lambda $-adic 表示也必为可约，从而在主假设下导致矛盾。

提出的方法

• 利用 $ \mathrm{PGL}(4,\mathbb{F}_q) $ 的极大子群分类分析可能的像约化。
• 应用 Fontaine–Laffaille 理论，基于 Hodge–Tate 分解描述弗罗贝尼乌斯子群 $ I_\ell $ 的像。
• 应用 Serre 猜想于奇数、不可约二维伽罗华表示，推导残像表示的模性。
• 利用伪表示与粘合引理，从局部数据构造整体伽罗华表示。
• 应用文献 [3] 中的一个引理，即使 $ \lambda $-adic 表示未定义在 $ E_\lambda $ 上，也能定义模 $ \lambda $ 残像表示。
• 利用不可约情形下张量分解的唯一性，推导出 $ \rho_{f,\lambda} $ 的半单化为两个行列式相等（均为 $ \chi^{2k-3} $）的二维表示之和。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，水平为1的亏格2 Siegel 尖点形式所附着的伽罗华表示图像为最大可能？
• RQ2 模 $ \lambda $ 伽罗华表示的图像如何与自守形式及其傅里叶系数的结构相关？
• RQ3 能否在不假设 Serre 猜想的情况下建立图像的最大性？
• RQ4 域 $ E = \mathbb{Q}(d_p) $ 及 $ d_p $ 非平方性在排除可约残像表示中起什么作用？
• RQ5 条件 $ \mathbb{Q}(d_p) = E $ 且 $ \sqrt{d_p} \notin E $ 在多大程度上确保对几乎所有素数，图像为最大？

主要发现

• 对于水平为1、重数为1、非 Maass spezialform，且对某个素数 $ p $ 满足 $ \mathbb{Q}(d_p) = E $、$ \sqrt{d_p} \notin E $ 的亏格2 Siegel 尖点形式，对几乎所有素数 $ \lambda $，有 $ \rho_{f,\lambda} $ 的像为 $ A_{\lambda}^k $。
• 残像表示 $ \bar{\rho}_{f,\lambda} $ 的像包含于 $ \{ g \in \mathrm{GSp}(4,\mathbb{F}_\lambda) \mid \det(g) \in (\mathbb{F}_\ell^*)^{4k-6} \} $，其射影像位于 $ \mathrm{PGL}(4,\mathbb{F}_\lambda) $ 或 $ \mathrm{PGSp}(4,\mathbb{F}_\lambda) $，具体取决于残像次数。
• 若对无穷多个 $ \lambda $，残像表示 $ \bar{\rho}_{f,\lambda} $ 为可约，则 $ \lambda $-adic 表示 $ \rho_{f,\lambda} $ 对所有 $ \lambda $ 也为可约，与最大性条件矛盾。
• 条件 $ \mathbb{Q}(d_p) = E $ 且 $ \sqrt{d_p} \notin E $ 确保对所有满足 $ \ell \nmid \mathrm{disc}(d_p) $ 且 $ d_p \notin (\mathbb{F}_\lambda)^2 $ 的 $ \lambda $，有 $ \bar{\rho}_{f,\lambda} $ 为不可约，而此类 $ \lambda $ 有无穷多个。
• 若 $ d_p $ 的条件满足，则结果不依赖 Serre 猜想，如通过伪表示粘合技术所示。
• Skoruppa 形式之例满足所需条件，因此其伽罗华表示对几乎所有素数均具有最大图像。