[论文解读] On the implementation of the eXtended Finite Element Method (XFEM) for interface problems

Thomas Carraro, Sven E. Wetterauer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 7

一句话总结

本文在 deal.II 有限元库中实现了扩展有限元法（XFEM）的实际应用，用于求解非拟合网格的界面问题。文中详细介绍了积分规则、增强型形函数以及界面条件的处理方法，展示了在强间断和弱间断情况下均达到最优收敛率，同时解决了弱间断情况下的混合作用问题。

ABSTRACT

The eXtended Finite Element Method (XFEM) is used to solve interface problems with an unfitted mesh. <br>We present an implementation of the XFEM in the FEM-library deal.II. <br>The main parts of the implementation are (i) the appropriate quadrature rule; (ii) the shape functions for the extended part of the finite element formulation; (iii) the boundary and interface conditions. <br>We show how to handle the XFEM formulation providing a code that demonstrates the solution of two exemplary interface problems for a strong and a weak discontinuity respectively. <br>In the weak discontinuity case, the loss of conformity due to the blending effect and its remedy are discussed. <br>Furthermore, the optimal convergence of the presented unfitted method is numerically verified.

研究动机与目标

• 实现使用非拟合网格的 XFEM 对界面问题进行精确求解。
• 在 deal.II 有限元库中开发一种稳健的实现方法。
• 解决 XFEM 中积分、形函数和界面条件方面的挑战。
• 分析并缓解弱间断问题中的混合作用。
• 通过数值验证非拟合 XFEM 格式的最优收敛率。

提出的方法

• 采用针对被界面切割的单元量身定制的特殊积分规则。
• 实现包含基于水平集的间断性的增强型形函数。
• 通过变分形式中的弱强制方法施加边界和界面条件。
• 使用水平集函数描述界面几何形状，而无需网格对齐。
• 采用允许解在界面处不连续的变分形式。
• 应用考虑切割单元和增强自由度的数值积分技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在现代 FEM 库（如 deal.II）中有效实现 XFEM 以求解界面问题？
• RQ2 何种积分策略可确保被界面切割单元的计算精度？
• RQ3 增强型形函数和水平集函数如何有助于建模间断性？
• RQ4 混合作用对弱间断问题收敛性有何影响？
• RQ5 能否通过非拟合 XFEM 方法实现最优收敛率？

主要发现

• 该实现成功求解了两个典型界面问题——一个具有强间断，另一个具有弱间断。
• 在弱间断问题中，识别出混合作用是导致收敛阶降低的原因。
• 已应用缓解措施，恢复了最优收敛行为。
• 在强间断和弱间断情况下，均通过数值验证了最优收敛率。
• 所提出的积分和形函数策略可实现非拟合网格上界面问题的精确求解。