[论文解读] On the (In)approximability of Combinatorial Contracts

Tomer Ezra, Michal Feldman+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2023

Auction Theory and Applications被引用 1

一句话总结

本文在多代理与多动作设置下建立了组合契约设计的强不可近似性结果。它证明，在多代理模型中，对于子模的成功概率函数，任何多项式时间算法都无法实现优于 0.7 的近似比；并表明，仅使用价值查询无法对 XOS 函数获得任何常数近似比。在多动作模型中，本文证明子模函数不存在常数近似比，且对 XOS 函数，甚至 n^{-1/2+ε} 近似比也不存在，从而解决了这些设置下近似极限的开放问题。

ABSTRACT

We study two combinatorial contract design models -- multi-agent and multi-action -- where a principal delegates the execution of a costly project to others. In both settings, the principal cannot observe the choices of the agent(s), only the project's outcome (success or failure), and incentivizes the agent(s) using a contract, which is a payment scheme that specifies the payment to the agent(s) upon a project's success. In the multi-agent setting, the project is delegated to a team of agents, and every agent chooses whether or not to exert effort. A success probability function specifies the probability of success for every subset of agents exerting effort. For the family of submodular success probability functions, Duetting et al. [2023] established a poly-time constant-factor approximation to the optimal contract, and left open whether this problem admits a PTAS. We show that no poly-time algorithm guarantees a better than $0.7$-approximation to the optimal contract. For XOS functions, Duetting et al. [2023] give a poly-time constant approximation with value and demand queries. We show that with value queries only, one cannot get any constant approximation. In the multi-action setting, the project is delegated to a single agent, who can take any subset of a given set of actions. Here, a success probability function specifies the probability of success for any subset of actions. Duetting et al. [2021a] devised a poly-time algorithm for computing an optimal contract for gross substitutes success probability functions, and established NP-hardness with respect to submodular functions. We further strengthen this hardness result by showing that this problem does not admit any constant approximation either. For the broader class of XOS functions, we establish the hardness of obtaining a $n^{-1/2+\varepsilon}$-approximation for any $\varepsilon > 0$.

研究动机与目标

• 解决 Dütting 等人（2023a）留下的开放问题：多代理契约设计模型中，子模成功概率函数是否允许存在 PTAS。
• 确定在仅使用价值查询而无需求查询时，XOS 函数在多代理模型中的近似极限。
• 通过证明对多动作模型中子模函数不存在常数近似比，强化已知的 NP-难性结果。
• 为多动作模型中的 XOS 函数建立紧致的不可近似性界，表明对任意 ε > 0，n^{-1/2+ε} 近似比均不可能实现。

提出的方法

• 通过基于图结构精心构造的成功概率函数，将最大团问题归约为契约设计问题。
• 构建一个依赖于代理人最优响应的契约效用函数，该函数在特定参数设置下等价于最大团。
• 采用类似二分查找的方法，对潜在的契约价值进行搜索，以区分团数较小与较大的图。
• 通过从最大团问题的归约，证明对子模函数，任何优于 0.7 近似比的最优契约近似都是不可能的。
• 对输入图进行变换，构造一个具有受控团结构的新图 G'，以校准契约参数。
• 利用对 β-近似契约的 oracle 访问，模拟最大团问题的 β²/4-近似算法，从而证明不可近似性的阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 多代理契约设计问题中，若成功概率函数为子模函数，是否如 Dütting 等人（2023a）所留下的开放问题所示，存在 PTAS？
• RQ2 在仅使用价值查询而无需求查询的情况下，能否对多代理模型中的 XOS 函数实现常数因子近似？
• RQ3 当成功概率函数为子模函数时，多动作契约设计问题是否存在常数因子近似算法？
• RQ4 XOS 函数在多动作模型中的最佳可能近似比是多少？对任意 ε > 0，n^{-1/2+ε} 近似比是否可达？
• RQ5 在多代理或多动作模型中，仅使用价值查询能否对最优契约实现常数因子近似？

主要发现

• 多代理契约设计问题中，若成功概率函数为子模函数，则不存在 PTAS，且任何多项式时间算法都无法实现优于 0.7 的近似比。
• 在多代理模型中，仅使用价值查询，对 XOS 函数无法实现常数近似比，即使有需求查询亦然，解决了 Dütting 等人（2023a）留下的问题。
• 在多动作模型中，子模成功概率函数的契约设计问题不存在任何常数因子近似比，从而强化了已知的 NP-难性结果。
• 在多动作模型中，对 XOS 函数，对任意 ε > 0，n^{-1/2+ε} 近似比均不可能实现，确立了紧致的不可近似性阈值。
• 本文建立了从最大团问题到契约设计问题的归约，表明任何 β-近似契约 oracle 均可用于获得最大团问题的 β²/4-近似算法。
• 结果表明，仅靠价值查询无法在两种模型中对 XOS 函数实现常数近似，凸显了更强查询类型的重要性。