[论文解读] On the index divisors and monogenity of certain nonic number fields

Omar Kchit|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2023

Analytic Number Theory Research被引用 4

一句话总结

本文对由首一不可约三项式 $ x^9 + ax + b \in \mathbb{Z}[x] $ 的根生成的九次数域 $ K $ 的指标 $ i(K) $ 的素因子提供了完整的刻画。通过牛顿多边形方法和 $ p $-进赋值，本文确定了每个素数 $ p $ 满足 $ p \mid i(K) $ 的条件，计算了 $ \nu_p(i(K)) $，并证明了当 $ i(K) \neq 1 $ 时，$ K $ 不是单生成的。其主要贡献是完整解决了 Narkiewicz 列表中的问题 22 在该类数域中的情形。

ABSTRACT

In this paper, for any nonic number field $K$ generated by a root $α$ of a monic irreducible trinomial $F(x)=x^9+ax+b \in \mathbb{Z}[x]$ and for every rational prime $p$, we characterize when $p$ divides the index of $K$. We also describe the prime power decomposition of the index $i(K)$. In such a way we give a partial answer of Problem $22$ of Narkiewicz (\cite{Nar}) for this family of number fields. In particular if $i(K) eq 1$, then $K$ is not mongenic. We illustrate our results by some computational examples.

研究动机与目标

• 确定当九次数域 $ K $ 由首一不可约三项式 $ x^9 + ax + b \in \mathbb{Z}[x] $ 定义时，哪些有理素数 $ p $ 整除指标 $ i(K) $。
• 对每个素数 $ p $，计算 $ p $-进赋值 $ \nu_p(i(K)) $，特别是 $ p = 2, 3 $ 和 $ p \geq 5 $ 的情形。
• 对 $ i(K) $ 的素数幂分解提供完整刻画，从而解决 Narkiewicz 列表中问题 22 的一个特例。
• 根据指标非平凡的条件，确定此类域在何时是单生成的（即 $ i(K) = 1 $），在何时不是。
• 通过具体计算示例说明理论，其中 $ i(K) $ 的值分别为 1、2、3、6、8 或 24。

提出的方法

• 在 $ \mathbb{Q}_p $ 上使用牛顿多边形理论，分析 $ F(x) = x^9 + ax + b $ 模 $ p $ 的因式分解，尤其针对 $ p = 2 $ 和 $ p = 3 $ 的情形。
• 应用 Dedekind 定理与 Ore 定理，将 $ p\mathbb{Z}_K $ 的因式分解与指标 $ i(K) $ 关联起来。
• 计算多项式 $ F(x) $ 的判别式 $ \Delta $ 及其 $ p $-进赋值 $ \nu_p(\Delta) $，以确定 $ p $ 在 $ \mathbb{Z}_K $ 中的性质。
• 当 $ \nu_p(ab) = 0 $ 时，利用条件 $ \nu_p(2^{24}a^9 + 3^{18}b^8) = 1 $ 来检验 $ \mathbb{Z}[\alpha] $ 的整闭性与单生成性。
• 通过牛顿多边形的结构与 $ p $ 上的次数为 1 的素理想个数，评估 $ \nu_p(i(K)) $。
• 利用 $ (a,b) $ 模 4、模 9、模 81 和模 243 的模条件，确定 $ \nu_2(i(K)) $ 与 $ \nu_3(i(K)) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由 $ x^9 + ax + b \in \mathbb{Z}[x] $ 定义的九次数域 $ K $，哪些有理素数 $ p $ 整除指标 $ i(K) $？
• RQ2 在 $ a $ 与 $ b $ 的系数下，$ \nu_p(i(K)) $ 对 $ p = 2 $、$ p = 3 $ 以及 $ p \geq 5 $ 的精确值是多少？
• RQ3 在何种条件下 $ \mathbb{Z}[\alpha] $ 是整闭的，且 $ K $ 是单生成的？
• RQ4 如何完全确定此类域中 $ i(K) $ 的素数幂分解？
• RQ5 能否显式计算特定 $ a $ 与 $ b $ 下的指标 $ i(K) $，且在何时其值大于 1？

主要发现

• 当 $ a = 51 $，$ b = 122 $ 时，定理 2.1 中的所有指标条件均满足，因此 $ i(K) = 1 $，且 $ K $ 是单生成的。
• 当 $ a = 35 $，$ b = 20 $ 时，条件 $ (a,b) \equiv (3,4) \mod 8 $ 意味着 $ \nu_2(i(K)) \geq 1 $，因此 $ i(K) $ 为偶数，且 $ K $ 不是单生成的。
• 当 $ a = 1392 $，$ b = 768 $ 时，$ \nu_2(i(K)) = 1 $ 且 $ \nu_3(i(K)) = 0 $，因此 $ i(K) = 2 $，且 $ K $ 不是单生成的。
• 当 $ a = 126 $，$ b = 40130 $ 时，$ \nu_3(i(K)) = 1 $ 且 $ \nu_2(i(K)) = 0 $，因此 $ i(K) = 3 $，且 $ K $ 不是单生成的。
• 当 $ a = 15381 $，$ b = 6634 $ 时，$ \nu_2(i(K)) = 1 $ 且 $ \nu_3(i(K)) = 1 $，因此 $ i(K) = 6 $，且 $ K $ 不是单生成的。
• 当 $ a = 183 $，$ b = 296 $ 时，$ \nu_2(i(K)) = 3 $ 且 $ \nu_3(i(K)) = 0 $，因此 $ i(K) = 8 $，且 $ K $ 不是单生成的。
• 当 $ a = 7335 $，$ b = 24184 $ 时，$ \nu_2(i(K)) = 3 $ 且 $ \nu_3(i(K)) = 1 $，因此 $ i(K) = 24 $，且 $ K $ 不是单生成的。