[论文解读] On the induced geometry on surfaces in 3D contact -Riemannian manifolds

Davide Barilari, Ugo Boscain+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文研究嵌入在3D接触子黎曼流形中的曲面的诱导子黎曼距离，确立了该距离为有限的条件。引入了在特征点处基于曲率的系数 $ ilde{K}_p$，该系数决定了局部叶状结构，并证明在具有孤立特征点的紧致共定向接触分布中，球面的诱导距离是有限的。

ABSTRACT

Given a surface S in a 3D contact sub-Riemannian manifold M, we investigate the metric structure induced on S by M, in the sense of length spaces. First, we define a coefficient K at characteristic points that determines locally the characteristic foliation of S. Next, we identify some global conditions for the induced distance to be finite. In particular, we prove that the induced distance is finite for surfaces with the topology of a sphere embedded in a tight coorientable distribution, with isolated characteristic points.

研究动机与目标

• 确定曲面 $S$ 上诱导子黎曼距离为有限的必要且充分条件。
• 分析曲面 $S$ 上孤立特征点附近特征叶状结构的局部几何。
• 定义并表征一个控制特征点附近叶状结构定性行为的几何不变量 $\tilde{K}_p$。
• 为具有球面拓扑的曲面在紧致接触分布中建立诱导距离的全局有限性。
• 通过Thurston–Bennequin不变量以及扭变与紧致分布的关系，将诱导几何与接触拓扑联系起来。

提出的方法

• 将诱导距离 $d_S(x,y)$ 定义为 $S$ 中曲线的子黎曼长度的下确界，将 $S$ 视为长度空间。
• 利用横截于接触分布 $D$ 的向量场 $X_0$ 构造黎曼近似 $g^{X_0}_\varepsilon$，并计算高斯曲率 $K^{X_0}_\varepsilon$。
• 从向量场的李括号模 $D$ 定义双线性型 $B^{X_0}$，并计算其行列式。
• 构造系数 $\tilde{K}_p = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{K^{X_0}_\varepsilon}{\det B^{X_0}_\varepsilon}$，并证明其与 $X_0$ 的选择无关。
• 通过公式 $\tilde{K}_p = -1 + \frac{\det DX(p)}{(\operatorname{tr} DX(p))^2}$ 将 $\tilde{K}_p$ 与线性化 $DX(p)$ 的特征值联系起来。
• 使用动力系统理论（包括中心流形定理）分析特征叶状结构的叶在特征点附近的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在3D接触子黎曼流形中，曲面 $S$ 上的诱导子黎曼距离在何种条件下为有限？
• RQ2 特征点附近的特征叶状结构的局部几何如何依赖于周围几何？
• RQ3 特征点处系数 $\tilde{K}_p$ 的几何意义是什么？它如何对叶状结构的行为进行分类？
• RQ4 在紧致接触结构中，具有球面拓扑的曲面的诱导距离是否可能为有限？
• RQ5 拓扑与接触几何不变量（如Thurston–Bennequin不变量）与诱导距离的有限性之间有何关系？

主要发现

• 系数 $\tilde{K}_p$ 有限且与横截向量场 $X_0$ 的选择无关，从而在每个特征点处提供了一个规范不变量。
• 当 $\tilde{K}_p < -1$ 时，特征点为双曲型（鞍点）；当 $\tilde{K}_p > -1$ 时，特征点为椭圆型（焦点/节点）。
• 对于非退化的特征点，其附近的特征叶状结构在拓扑上共轭于线性化流，其行为完全由 $\tilde{K}_p$ 决定。
• 收敛于特征点的特征叶状结构的一维叶具有有限的子黎曼长度。
• 对于任意与球面微分同胚、嵌入在具有孤立特征点的紧致共定向接触分布中的曲面 $S$，诱导距离 $d_S$ 为有限。
• 在Heisenberg群中，以原点为中心的球面上的诱导距离是有限的，特征点位于极点，度量系数 $\tilde{K}_{F_\pm} = -\frac{3}{4} + \frac{1}{r(R+r)} > -\frac{3}{4}$，确认了焦点型行为。