[论文解读] On the inductive blockwise Alperin weight condition for type $\mathsf A$

Zhicheng Feng, Conghui Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2020

Finite Group Theory Research参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文證明了有限特殊線性群與酉群在有限域上的分塊式 Alperin 重量猜想，確立了單一路徑與最大缺陷分塊的合內分塊式 Alperin 重量條件，並透過半純粹 2'-元素與軌道代表元對這些群的 2-分塊進行分類。本文擴展了先前結果，驗證了類型 A 群在 gcd(n, q−η)ℓ′ 為無平方因子時的條件，以及具有阿貝爾 Sylow 3-子群的有限群之結果。

ABSTRACT

In this paper we prove the blockwise Alperin weight conjecture for finite special linear and unitary groups, for finite groups with abelian Sylow $3$-subgroups, and verify the inductive blockwise Alperin weight condition for certain cases of groups of type $\mathsf A$. We also give a classification for the 2-blocks of special linear and unitary groups.

研究动机与目标

• 驗證有限型 A 群的合內分塊式 Alperin 重量（iBAW）條件，包括特殊線性群與酉群。
• 確立特殊線性與酉群在所有素數下的分塊式 Alperin 重量猜想。
• 當定義特徵為奇數時，對有限特殊線性與酉群的 2-分塊進行分類。
• 將先前關於單一路徑與最大缺陷分塊的結果擴展至更廣泛的分塊與素數類別。
• 證明具有阿貝爾 Sylow 3-子群的有限群的分塊式 Alperin 重量猜想。

提出的方法

• 利用 Späth（2013）與 Navarro–Tiep（2011）的約化結果，將分塊式 Alperin 重量猜想約化為在型 A 的有限單群上驗證 iBAW 條件。
• 應用 Broué 對 GLn(ηq) 的 Brauer 對分類與先前研究中 SLn(ηq) 的根子群結構，以分析 2-分塊。
• 採用 d-Jordan-純粹對與半純粹 2'-元素的概念，參數化 SLn(ηq) 的 2-分塊，推廣先前對奇素數的工作。
• 引入 (n,2)-可允許分塊符號作為 2-分塊的標記集合，定義方式為在 Frobenius 作用下單位根的軌道與次數條件。
• 定義 κ(𝔟) 為 O₂′(ℤ) 在分塊符號 𝔟 上的固定點數目，用以計數由 GLn(ηq) 的給定 2-分塊所覆蓋的 SLn(ηq) 的 2-分塊數目。
• 利用群作用與軌道計數法，證明集合 (B𝔟)j（其中 𝔟 跑遍 (n,2)-可允許分塊符號的 O₂′(ℤ)-軌道，且 j=1,…,κ(𝔟)）構成 SLn(ηq) 所有 2-分塊的完整且互不相交的參數化。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於 SLn(ηq) 的單一路徑與最大缺陷分塊，合內分塊式 Alperin 重量條件是否在所有素數下成立？
• RQ2 當 gcd(n, q−η)ℓ′ 為無平方因子時，是否可驗證簡單群 PSLn(ηq) 的 iBAW 條件？
• RQ3 SLn(ηq) 的 2-分塊的完整參數化為何？單一 GLn(ηq) 的 2-分塊會覆蓋多少個 SLn(ηq) 的 2-分塊？
• RQ4 具有阿貝爾 Sylow 3-子群的有限群是否滿足分塊式 Alperin 重量猜想？
• RQ5 在有限李型群的分塊分類中，d-Jordan-純粹對分類是否必須假設素數為奇數？

主要发现

• 分塊式 Alperin 重量猜想對所有有限特殊線性與酉群及所有素數均成立。
• 在任意不整除 q 的素數 ℓ 下，SLn(ηq) 的單一路徑與最大缺陷分塊的合內分塊式 Alperin 重量條件已驗證。
• 對於滿足 gcd(n, q−η)ℓ′ 為無平方因子的簡單群 PSLn(ηq)，iBAW 條件成立，且此結果可推出 n ≤ 7 時的猜想成立。
• 由 GLn(ηq) 的給定 2-分塊所覆蓋的 SLn(ηq) 的 2-分塊數目由 κ(𝔟) 給出，即 O₂′(ℤ) 在分塊符號 𝔟 上的固定點數目。
• 集合 (B𝔟)j（其中 𝔟 取遍 (n,2)-可允許分塊符號的 O₂′(ℤ)-軌道代表元，且 j=1,…,κ(𝔟)）構成 SLn(ηq) 所有 2-分塊的完整且互不相交的參數化。
• 結果顯示，[26, Thm. A(e)] 中對奇素數的假設是必要的，因為當 4∣q+η 時，覆蓋的 2-分塊數目可能超過 κ(𝔟)。