[论文解读] On the inference about the spectra of high-dimensional covariance matrix based on noisy observations-with applications to integrated covolatility matrix inference in the presence of microstructure noise

Ningning Xia, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对高维协方差矩阵的两步谱推断方法，适用于观测数据受噪声污染的情形，特别应用于具有微观结构噪声的高频金融中集成协方差矩阵的估计。该研究建立了噪声样本协方差矩阵的极限谱分布（LSD）与真实底层协方差矩阵之间的渐近联系，通过改进的预平均方法和受噪声影响鲁棒的估计器，基于 Marcenko-Pastur 方程实现了一致的谱估计。

ABSTRACT

In practice, observations are often contaminated by noise, making the resulting sample covariance matrix to be an information-plus-noise-type covariance matrix. Aiming to make inferences about the spectra of the underlying true covariance matrix under such a situation, we establish an asymptotic relationship that describes how the limiting spectral distribution of (true) sample covariance matrices depends on that of information-plus-noise-type sample covariance matrices. As an application, we consider the inference about the spectra of integrated covolatility (ICV) matrices of high-dimensional diffusion processes based on high-frequency data with microstructure noise. The (slightly modified) pre-averaging estimator is an information-plus-noise-type covariance matrix, and the aforementioned result, together with a (generalized) connection between the spectral distribution of true sample covariance matrices and that of the population covariance matrix, enables us to propose a two-step procedure to estimate the spectral distribution of ICV for a class of diffusion processes. An alternative estimator is further proposed, which possesses two desirable properties: it eliminates the impact of microstructure noise, and its limiting spectral distribution depends only on that of the ICV through the standard Marčenko-Pastur equation. Numerical studies demonstrate that our proposed methods can be used to estimate the spectra of the underlying covariance matrix based on noisy observations.

研究动机与目标

• 解决在观测数据受噪声污染时，推断高维真实协方差矩阵谱分布的挑战，特别是在高频金融数据中的应用。
• 建立信息加噪声型样本协方差矩阵的极限谱分布（LSD）与底层真实协方差矩阵LSD之间的理论框架。
• 将该框架应用于在存在微观结构噪声条件下，对高维扩散过程观测中集成协方差矩阵（ICV）的谱分布进行推断。
• 提出一种两步程序，即使在高维高频数据受噪声污染的情况下，也能实现对ICV谱分布的一致估计。
• 设计一种替代估计器，可消除微观结构噪声的影响，其LSD仅通过标准Marcenko-Pastur方程依赖于ICV。

提出的方法

• 在高维渐近框架下，建立真实样本协方差矩阵的LSD与信息加噪声型样本协方差矩阵LSD之间的渐近关系。
• 利用Marcenko-Pastur方程作为基础工具，建立样本协方差矩阵LSD与总体协方差矩阵之间的广义关联。
• 使用（稍作修改的）预平均估计器作为ICV矩阵的噪声鲁棒估计器，其自然形成信息加噪声型协方差矩阵。
• 提出两步程序：第一步，推断噪声预平均估计器的LSD；第二步，利用推导出的渐近关系将其映射回真实ICV的LSD。
• 引入一种替代估计器，其渐近等价于i.i.d.标准正态向量的样本协方差矩阵，确保其LSD仅通过标准Marcenko-Pastur方程依赖于ICV。
• 采用矩条件和噪声的强混合假设，结合矩界和Hölder不等式，控制误差项，并建立谱矩的几乎必然收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维设定下，基于受污染观测的样本协方差矩阵的极限谱分布（LSD）与真实底层协方差矩阵的LSD之间有何关系？
• RQ2 当高频金融数据受微观结构噪声污染时，集成协方差矩阵（ICV）的谱分布能否被一致估计？
• RQ3 在存在微观结构噪声的情况下，预平均估计器的渐近行为如何？其LSD如何与真实ICV的LSD关联？
• RQ4 能否构造一种噪声鲁棒估计器，使其LSD仅通过标准Marcenko-Pastur方程依赖于ICV？
• RQ5 噪声和底层过程需要满足哪些充分条件，才能确保谱矩和估计器LSD的几乎必然收敛？

主要发现

• 通过推导出的函数关系，噪声（信息加噪声）型样本协方差矩阵的极限谱分布（LSD）与真实协方差矩阵的LSD在渐近下相关联。
• 基于改进预平均估计器的两步程序在高维渐近框架下成功实现了对集成协方差矩阵（ICV）LSD的估计。
• 所提出的替代估计器渐近等价于i.i.d.标准正态向量的样本协方差矩阵，确保其LSD仅通过标准Marcenko-Pastur方程依赖于ICV。
• 在给定的矩条件和混合条件下，预平均估计器的LSD以几乎必然的方式收敛到由ICV和噪声结构决定的确定性极限。
• 数值研究证实，即使观测数据受微观结构噪声污染，所提出的方法仍能准确估计底层协方差矩阵的谱。
• 在矩有界和强混合的假设下，谱矩近似中的误差项以几乎必然方式消失，确保了LSD估计的一致性。