[论文解读] On the inference about the spectral distribution of high-dimensional covariance matrix based on high-frequency noisy observations

Ningning Xia, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一种两步法，利用高频噪声数据，一致地估计高维扩散过程中集成协方差矩阵（ICV）的谱分布。通过建立信号加噪声样本协方差矩阵与其极限谱分布之间的渐近关系，作者提出了一种鲁棒估计器，有效消除了微结构噪声的影响，利用标准的 Marčenko-Pastur 方程在高维渐近下实现一致推断。

ABSTRACT

In practice, observations are often contaminated by noise, making the resulting sample covariance matrix a signal-plus-noise sample covariance matrix. Aiming to make inferences about the spectral distribution of the population covariance matrix under such a situation, we establish an asymptotic relationship that describes how the limiting spectral distribution of (signal) sample covariance matrices depends on that of signal-plus-noise-type sample covariance matrices. As an application, we consider inferences about the spectral distribution of integrated covolatility (ICV) matrices of high-dimensional diffusion processes based on high-frequency data with microstructure noise. The (slightly modified) pre-averaging estimator is a signal-plus-noise sample covariance matrix, and the aforementioned result, together with a (generalized) connection between the spectral distribution of signal sample covariance matrices and that of the population covariance matrix, enables us to propose a two-step procedure to consistently estimate the spectral distribution of ICV for a class of diffusion processes. An alternative approach is further proposed, which possesses several desirable properties: it is more robust, it eliminates the effects of microstructure noise, and the asymptotic relationship that enables consistent estimation of the spectral distribution of ICV is the standard Marcenko-Pastur equation. The performance of the two approaches is examined via simulation studies under both synchronous and asynchronous observation settings.

研究动机与目标

• 解决在观测数据受微结构噪声污染时，高维扩散过程中集成协方差矩阵（ICV）谱分布估计的挑战。
• 建立信号加噪声样本协方差矩阵的极限谱分布与底层仅信号样本协方差矩阵的极限谱分布之间的渐近关系。
• 在高维渐近下（p, n → ∞ 且 p/n → y ∈ (0, ∞)）开发一种一致的两步估计程序，用于 ICV 谱分布的估计。
• 提出一种替代性更强的估计方法，消除微结构噪声的影响，并依赖标准的 Marčenko-Pastur 方程实现一致估计。

提出的方法

• 推导出一个渐近关系，描述信号加噪声样本协方差矩阵的极限谱分布如何依赖于仅信号样本协方差矩阵的极限谱分布。
• 应用信号样本协方差矩阵谱分布与总体协方差矩阵之间的一般化关系，构建两步估计程序。
• 利用预平均估计器（其被证明是信号加噪声样本协方差矩阵）来建模高频噪声观测数据。
• 提出一种替代估计器，通过变换噪声数据以消除微结构噪声，从而允许使用标准的 Marčenko-Pastur 方程进行一致估计。
• 采用 Stieltjes 变换和再生核技术分析极限谱分布，并在高维渐近下证明收敛性。
• 依赖复上半平面中的紧致性与唯一性论证，建立经验谱分布的 Stieltjes 变换几乎必然收敛到真实极限变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维设置下，信号加噪声样本协方差矩阵的极限谱分布与底层仅信号样本协方差矩阵的极限谱分布之间有何关系？
• RQ2 当高频数据受微结构噪声污染时，能否开发一种一致的两步估计程序来估计集成协方差矩阵（ICV）的谱分布？
• RQ3 是否存在一种更鲁棒的替代估计方法，能够消除微结构噪声影响，同时仍可通过标准的 Marčenko-Pastur 方程实现一致估计？
• RQ4 在同步与异步观测设置下，所提出的估计器的有限样本性能特征如何？

主要发现

• 所提出的两步法在高维渐近下一致估计了 ICV 矩阵的谱分布，即使观测数据受微结构噪声污染也成立。
• 替代估计器成功消除了微结构噪声的影响，使得标准的 Marčenko-Pastur 方程可用于一致估计。
• 模拟研究证实，两种方法在同步与异步观测设置下均表现良好，且替代方法展现出更优的鲁棒性。
• 信号加噪声与仅信号谱分布之间的渐近关系被严格建立，从而在噪声高频数据中实现一致推断。
• 预平均估计器的经验谱分布的 Stieltjes 变换几乎必然收敛到真实极限变换，确保了谱分布估计器的一致性。