[论文解读] On the influence of the cosmological constant on trajectories of light and associated measurements in Schwarzschild de Sitter space

Dmitri Lebedev, Kayll Lake|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Astrophysical Phenomena and Observations被引用 12

一句话总结

本文证明了宇宙学常数 Λ 通过其对可观测交角和相对论性光行差的影响，影响了史瓦西-德西特时空中的可观测光线偏转，尽管零测地线与 Λ 无关。本文提出了一个测量角度的不变一般公式，并表明 Λ 通过观测者依赖的几何结构和角直径距离进入引力透镜观测量，从而解决了长期关于 Λ 在引力透镜中作用的争议，澄清了定义与测量框架。

ABSTRACT

In this paper we review and build on the common methods used to analyze null geodesics in Schwarzschild de Sitter space. We present a general technique which allows finding measurable intersection angles of null trajectories analytically, and as one of its applications we establish a general relativistic aberration relationship. The tools presented are used to analyze some standard setups of gravitational deflection of light and gain a clear understanding of the role that the cosmological constant, $Λ$, plays in gravitational lensing phenomena. Through reviewing some recent papers on the topic with the present results in mind, we attempt to explain the major sources of disagreement in the ongoing debate on the subject, which started with Rindler and Ishak's original paper, regarding the influence of $Λ$ on lensing phenomena. To avoid ambiguities and room for misunderstanding we present clear definitions of the quantities used in the present analysis as well as in other papers we discuss.

研究动机与目标

• 通过区分测地线轨迹与可观测物理量，澄清宇宙学常数 Λ 在引力透镜中的作用。
• 解决文献中因 SdS 时空中可观测量和参考系定义模糊而引起的不一致问题。
• 开发一种通用且不变的方法，用于计算任意观测者和几何结构下光线轨迹的可观测交角。
• 证明 Λ 并非通过轨迹本身影响透镜观测量，而是通过观测者的四速度和由此产生的角直径距离影响。
• 提供一个统一框架，整合相对论性光行差，并解决先前研究中关于 Λ 对光线偏转影响的差异。

提出的方法

• 利用基本时空参数和观测者四速度，推导出测量光线交角的一般不变公式。
• 将该公式应用于史瓦西-德西特时空中的标准引力透镜设置，使用 Kottler 坐标和度规 ds² = -f(r)dt² + dr²/f(r) + r²dφ²。
• 引入一个校正因子 h(Λ, U)，其编码了测量角度对 Λ 和观测者运动的依赖性，该因子由 m=0 时 f(r)/(f(r)Uᵗ - Uʳ) 的比值导出。
• 利用 m 和 θ 的一阶微扰理论，推导出以可观测角直径距离 D_S 和 D_L 表示的透镜方程，并引入 Λ 的修正项。
• 推导出一个通用的相对论性光行差方程，其在平直时空下退化为标准形式，并适用于不同几何结构和观测者方向。
• 对比静止观测者与共动观测者的结果，表明由于时空几何和速度效应的差异，透镜方程中存在不同的 Λ 依赖性修正。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管零测地线与 Λ 无关，宇宙学常数 Λ 是否仍会影响史瓦西-德西特时空中的可观测光线偏转角？
• RQ2 不同的观测者参考系——静止与共动——如何导致引力透镜观测量中出现不同的 Λ 依赖性修正？
• RQ3 相对论性光行差在 Λ 存在时如何改变光源的观测方位角？
• RQ4 为何一些研究声称 Λ 对透镜无影响，而另一些研究却发现其有可观测影响？这种差异的根源是什么？
• RQ5 能否推导出一个通用且不变的公式，用于计算任意时空中任意观测者和几何结构下的可观测交角，且独立于坐标系或观测者选择？

主要发现

• 尽管零测地线与 Λ 无关，宇宙学常数 Λ 仍通过观测者依赖的几何结构和角直径距离影响可观测的光线偏转。
• 推导出一个通用的不变公式用于测量交角，其依赖于观测者的四速度和时空度规，并在平直空间中退化为标准光行差定律。
• 对于静止观测者，透镜方程中包含一个校正因子 1/√(1 + ΛD_L²/3)，表明角直径距离存在负的 Λ 依赖性修正。
• 对于共动观测者，校正因子变为 1/(1 - √(Λ/3) D_L)，引入一个随 D_L 增大而增长的正 Λ 依赖项，导致 Λ 的影响强于静止情况。
• 近似式 y = D_S θ_M - 4m(D_S - D_L)/(D_L θ_M) (1 + D_L/√3 √Λ + D_L²/3 Λ) 表明，对于共动观测者，Λ 在透镜方程中以 O(√Λ) 和 O(Λ) 阶贡献。
• 关系式 R_SL = (D_S - D_L)/(1 - √(Λ/3) D_L) + O(θ_E²) 确认了源与透镜之间的可观测距离通过观测者的运动和时空曲率依赖于 Λ。