[论文解读] On the initial value problem for the Navier-Stokes equations with the initial datum in critical Sobolev and Besov spaces

D. Q. Khai, N. M. Tri|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文在 $[\mathbb{R}^d$ 上建立了纳维尔-斯托克斯方程在临界齐次与非齐次索伯列夫空间和贝索夫空间中初始数据的局部与全局温和解的存在性与唯一性，特别针对 $1 < q \leq 2$ 且 $d \geq 3$ 的情形。关键贡献在于这些临界空间中双线性估计的建立，利用热核的逐点衰减，从而实现 $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ 中小初值的局部适定性与全局存在性。

ABSTRACT

The existence of local unique mild solutions to the Navier-Stokes equations in the whole space with an initial tempered distribution datum in critical homogeneous or inhomogeneous Sobolev spaces is shown. Especially, the case when the integral-exponent is less than 2 is investigated. The global existence is also obtained for the initial datum in critical homogeneous Sobolev spaces with a norm small enough in suitable critical Besov spaces. The key lemma is to establish the bilinear estimates in these spaces, due to the point-wise decay of the kernel of the heat semigroup.

研究动机与目标

• 在临界索伯列夫与贝索夫空间中建立纳维尔-斯托克斯方程温和解的局部与全局存在性。
• 研究可积性指数 $q$ 小于 2 的情形，该情形在文献中较少被探讨。
• 将适定性理论扩展至具有非整数或分数正则性的临界齐次与非齐次索伯列夫空间。
• 通过临界尺度函数空间中的双线性估计，为 $d \geq 3$ 且 $1 < q \leq 2$ 的情形提供统一框架。
• 通过控制双线性项在 $L^{2q}$-型范数中的时间可积性，证明在 $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ 中小初值的全局存在性。

提出的方法

• 作者采用涉及热半群 $e^{t\Delta}$ 和投影算子 $\mathbb{P}$ 的积分方程形式来表述温和解。
• 他们在临界贝索夫与索伯列夫空间中建立了非线性项 $B(u,v)(t) = \int_0^t e^{(t-\tau)\Delta} \mathbb{P} \nabla \cdot (u \otimes v)(\tau) \, d\tau$ 的关键双线性估计。
• 证明依赖于热核的逐点衰减估计，以控制双线性算子的正则性与可积性。
• 作者应用齐次贝索夫与索伯列夫空间之间的插值与嵌入定理，特别是 $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q \hookrightarrow \dot{B}^{\frac{d}{q}-1,q}_q \hookrightarrow \dot{B}^{\frac{d+1}{q}-2,2q}_{dq/(d+1-q)}$。
• 他们使用 $L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})$ 中的时间加权范数来控制非线性项，并应用不动点论证。
• 全局存在性结果通过证明线性部分 $e^{t\Delta}u_0$ 的 $L^{2q}$-范数被初值在 $\dot{B}^{\frac{d+1}{q}-2,2q}_{dq/(d+1-q)}$ 中的范数所控制而得出，该空间嵌入于 $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $1 < q \leq 2$ 且 $d \geq 3$ 时，是否可以在临界索伯列夫空间 $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ 中构造纳维尔-斯托克斯方程的温和解？
• RQ2 在这些临界空间中确保局部适定性所需的双线性估计是什么，特别是当 $q < 2$ 时？
• RQ3 在 $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ 中小初值下，解在什么条件下能全局存在？
• RQ4 贝索夫与索伯列夫空间之间的嵌入关系如何影响解的正则性与可积性？
• RQ5 热核的逐点衰减是否能有效用于推导临界空间中非线性项的时间可积估计？

主要发现

• 当 $d \geq 3$，$1 < q \leq 2$，且初值 $u_0 \in \dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q(\mathbb{R}^d)$ 满足 $\text{div}(u_0) = 0$ 时，存在唯一局部温和解属于 $L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}}) \cap C([0,T]; \dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q)$。
• 双线性算子 $B(u,v)$ 从 $L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}}) \times L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})$ 连续映射到 $L^{\infty}([0,T]; \dot{B}^{\frac{d}{q}-1,q}_q)$，且满足估计 $\|B(u,v)\|_{L^{\infty}(\dot{B}^{\frac{d}{q}-1,q}_q)} \lesssim \|u\|_{L^{2q}(\dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})} \|v\|_{L^{2q}(\dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})}$。
• 线性部分 $e^{t\Delta}u_0$ 满足 $\|e^{t\Delta}u_0\|_{L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})} \simeq \|u_0\|_{\dot{B}^{\frac{d+1}{q}-2,2q}_{dq/(d+1-q)}} \lesssim \|u_0\|_{\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q}$，从而支持不动点论证的应用。
• 当 $\|u_0\|_{\dot{B}^{\frac{d+1}{q}-2,2q}_{dq/(d+1-q)}} \leq \sigma_{q,d}$ 对某个小的 $\sigma_{q,d} > 0$ 成立时，全局存在性对所有 $T = \infty$ 成立，意味着在 $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ 中小初值下实现全局适定性。
• 该结果扩展了先前工作，处理了更具挑战性的临界情形 $q \leq 2$（因可积性更弱），并提出了一种基于 $L^{2q}$-型时间可积性的新框架。
• 该方法避免依赖斯托克斯算子的分数次幂，转而使用由热核衰减与插值得到的卷积型估计。