[论文解读] On the inner structure of a permutation: Bicolored Partitions and Eulerians, Trees and Primitives

Adrian Ocneanu|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出了一种将排列分解为具有指定上升与下降数目的双色集合族的双射分解方法，从而实现原初排列的规范树状结构。关键贡献在于通过一种新颖的组合框架，用移位多项式替代排列重排，推导出欧拉数与错位排列的显式加法多项式公式。

ABSTRACT

We present a bijective algorithm with which an arbitrary permutation decomposes canonically into elementary blocks which we call families, which are sets with a specified number of ascents and descents. We show that families, arranged in an arbitrary order in a sequence, are in bijection with permutations. The permutation decomposes canonically, by inserting parentheses, into a tree having as nodes a class of permutations which we call primitive. Primitive permutations can be assembled from very simple data. The data for the trees into which a permutation decomposes can be written in a form similar to the decimal classification of a library. We axiomatize that data. It has a structure very different from the permutation which it encodes, with shuffles and pairings instead of reorderings. These structures are similar to the fundamental processes in quantum field theory. Our main bijective structure algorithm gives explicit, additive multinomial formulae for the number of permutations with given sets of elements under and over the diagonal, or with given ascent and descent values. The multinomial expressions obtained this way give a new class of bicolored set statistics, between set partitions and set compositions, called shifted multinomials. These provide for the first time additive multinomial expressions for Eulerian numbers and derangements, as part of a sequence of new combinatorial objects. These multinomial expressions satisfy inductive relations involving only immediate neighbors, similar to the relations satisfied by the Eulerian numbers.

研究动机与目标

• 开发一种将排列规范分解为称为‘族’的基本结构单元的方法，其具有指定的上升与下降计数。
• 建立排列与此类族序列之间的双射对应关系，从而能够基于组合数据显式构造排列。
• 引入一种以‘原初’排列为基础的树状结构，作为构建模块，类似于乘法数论中的质数。
• 利用一类称为移位多项式的新型双色集合统计量，为欧拉数与错位排列导出加法多项式公式。
• 将排列动力学建模为族的生长与分裂过程，类比于生物细胞分裂或量子场论算符。

提出的方法

• 将族定义为具有 k 个红色（上升）与 l 个蓝色（下降）元素的双色集合，其顺序满足蓝色元素递增、红色元素递增，且所有蓝色元素小于所有红色元素。
• 使用动态插入算法：将最大元素 n 插入 {1,…,n−1} 的排列中，可选择：融入现有族、拉出一个‘朋友’形成新族，或创建单元素族。
• 构建一种规范森林结构，其中每个节点为一个原初排列，由一个具有指定上升/下降值的活跃族及其用于更高分支的‘芽’插入点组成。
• 使用基于原初组件配对与洗牌的十进制编码方式，对整个排列进行编码，以组合配对与洗牌数据取代排列重排。
• 通过正负整数序列或带装饰下降的Dyck路径，对树结构的数据进行公理化，实现原初排列的直接构造。
• 利用移位多项式系数，推导出具有给定数量元素位于对角线上方、下方与对角线上的排列数的加法多项式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 排列能否被规范地分解为具有指定上升与下降计数的结构单元（族）？
• RQ2 排列与此类族序列之间是否存在双射对应关系？该关系如何用于显式构造排列？
• RQ3 如何将新最大元素插入所引发的族生长与分裂的动力学过程形式化为原初排列的树状结构？
• RQ4 哪些组合数据（如Dyck路径、带符号序列）可唯一编码排列结构的原初组件？
• RQ5 能否通过一类新型双色集合统计量（如移位多项式）为欧拉数与错位排列导出加法多项式公式？

主要发现

• 大小为 n 的排列中，具有 n₁ 个单元素族与 n_{(i,j)} 个大小为 i+j 的族（其中含 i 个上升与 j 个下降）的排列数由如下多项式表达式给出：n! / (n₁! ∏(i+j)!^{n_{(i,j)}}) × (Σn_{(i,j)})! / ∏n_{(i,j)}!。
• 对所有有效配置 (n₁, n_{(i,j)}) 的上述多项式表达式求和，总和等于 n!，从而确认了排列与族的无限制组合之间存在双射。
• 由此产生的双色集合统计量——移位多项式——首次为欧拉数与错位排列提供了加法多项式公式。
• 这些多项式表达式满足仅涉及相邻项的归纳关系，与欧拉数的递推性质相一致。
• 按 (i,j) 类型（i 个上升，j 个下降）划分的族的统计分布服从多元正态分布，其源于族生长与分裂的复杂动力学。
• 排列的结构通过原初组件的配对与洗牌进行编码，以根本不同的组合运算取代排列重排，其机制类似于量子场论中的运算。