[论文解读] On the integrability of the co-CR quaternionic structures

Radu Pantilie|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文建立了刻画流形上共CR四元数结构可积性的曲率与广义挠率条件。在典型维数条件下，证明了任意具有无挠率相容联络的几乎$f$-四元数结构，局部上均为超复流形与$({\rm Im}\mathbb{H})^k$的乘积，从而实现了完整的局部分类，并通过在四元数流形的扭量空间上构造全纯向量丛，构造出新的共CR四元数流形。

ABSTRACT

We characterise the integrability of any co-CR quaternionic structure in terms of the curvature and a generalized torsion of the connection. Also, we apply this result to obtain, for example, the following. (1) New co-CR quaternionic structures built on vector bundles over a quaternionic manifold M, whose twistor spaces are holomorphic vector bundles over the twistor space Z of M. Moreover, all the holomorphic vector bundles over Z, which are positive and isotypic when restricted to the twistor lines, are obtained this way. (2) Under generic dimensional conditions, any manifold endowed with an almost f-quaternionic structure and a compatible torsion free connection is, locally, a product of a hypercomplex manifold with some power of the space of imaginary quaternions.

研究动机与目标

• 为共CR四元数结构的可积性提供曲率与广义挠率条件。
• 从四元数流形的扭量空间上的全纯向量丛构造新的共CR四元数流形。
• 在典型维数条件下，对具有无挠率联络的几乎$f$-四元数流形进行分类。
• 将已知的扭量空间与正全纯向量丛结果推广至共CR四元数设定。

提出的方法

• 为配备映射$\rho: E \to TM$的向量丛上的联络引入广义挠率张量，扩展经典挠率概念。
• 利用此广义挠率分析由共CR四元数结构导出的格拉斯曼丛上分布的可积性。
• 应用可积性判别准则，证明在四元数流形的扭量空间上，于扭量线上正且同型的全纯向量丛，可作为构建于$M$上向量丛之上的共CR四元数流形的扭量空间。
• 将主定理应用于$f$-四元数结构，表明$Q$上诱导联络的平坦性与秩条件蕴含局部乘积结构。
• 利用第一比安基恒等式与曲率分解，关联$V$与$Q$丛的曲率，证明在秩约束下平坦性等价。
• 运用扭量几何与奥博塔联络，证明平坦性与可积性导致局部三复结构子丛映射至超复流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种曲率与挠率条件刻画共CR四元数结构的可积性？
• RQ2 哪些四元数流形的扭量空间上的全纯向量丛可作为共CR四元数流形的扭量空间？
• RQ3 在何种条件下，具有无挠率相容联络的几乎$f$-四元数结构，局部上为超复流形与$({\rm Im}\mathbb{H})^k$的乘积？
• RQ4 联络的曲率与广义挠率如何与底层几乎共CR四元数分布的可积性相关？

主要发现

• 共CR四元数结构的可积性由广义挠率的消失以及联络上的特定曲率条件所刻画。
• 所有在四元数流形$M$的扭量空间$Z$上的全纯向量丛，若在扭量线上正且同型，则均作为构建于$M$上向量丛之上的共CR四元数流形的扭量空间出现。
• 在秩条件$\operatorname{rank}E > 4\operatorname{rank}V \geq 8$下，任意具有无挠率相容联络的几乎$f$-四元数结构，局部上为超复流形与$({\rm Im}\mathbb{H})^{\operatorname{rank}V}$的乘积。
• $V$与$Q$丛上诱导联络平坦当且仅当$Q$的曲率为零，前提是$\operatorname{rank}V \geq 3$。
• 广义挠率构造为由共CR结构导出的格拉斯曼丛上分布的可积性提供了必要且充分条件。
• 该结果将[9, 定理7.2]推广至$m=1$的情形，并将其扩展至全纯向量丛设定下更高的正陈数。