[论文解读] On the integral cohomology of quotients of complex manifolds

Grégoire Menet|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文研究了复流形 X 在素数阶有限群 G 作用下的整上同调，建立了在 G 局部作用或不动点集满足特定条件下的普遍结果。该研究将这些成果应用于构造新的奇异不可约对称形式流形中的 Beauville-Bogomolov 格，这些流形是光滑流形的有限商空间。

ABSTRACT

The integral cohomology of a complex manifold X quotiented by a finite automorphism group of prime order G is studied. A general result is obtained under assumptions on the local action of G or on the fixed locus of G. As an application, we provide new examples of Beauville-Bogomolov lattices of singular irreducible symplectic varieties obtained as finite quotients of smooth ones.

研究动机与目标

• 理解复流形在素数阶有限群作用下的整上同调。
• 识别局部群作用或不动点集的条件，以实现对商空间上同调的可控描述。
• 将上同调结果应用于构造奇异不可约对称形式流形中新的 Beauville-Bogomolov 格的例子。
• 通过包含光滑流形的商空间得到的奇异流形，扩展已知的 Beauville-Bogomolov 格分类。

提出的方法

• 分析素数阶有限群 G 在复流形 X 上的作用，重点关注不动点附近的局部行为。
• 应用等变上同调技术和谱序列，将 X 的上同调与商空间 X/G 的上同调联系起来。
• 通过假设 G 的局部作用或不动点集的结构，控制商空间中的挠子群和贝蒂数。
• 应用 Leray-Serre 谱序列计算群作用下商空间的上同调。
• 依赖于有限群商空间拓扑及对称奇点结构的已知结果。
• 通过取具有对称形式结构的光滑复流形并对其施以保持对称形式的合适群作用，构造例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在素数阶有限群作用下，复流形的整上同调如何变化？
• RQ2 何种局部群作用或不动点集的条件可确保商空间上同调的可控描述？
• RQ3 此类商空间的上同调结构能否产生新的 Beauville-Bogomolov 格？
• RQ4 作为光滑对称形式流形商空间的奇异不可约对称形式流形的拓扑不变量是什么？
• RQ5 商空间的上同调群如何与原流形的上同调及群作用的不动点数据相关？

主要发现

• 本文在对 G 的局部作用或不动点集施加弱假设的条件下，建立了 X/G 的整上同调的一般公式。
• 识别出在存在对称形式结构时，商空间 X/G 的上同调保留原流形上同调关键性质的条件。
• 构造了作为光滑对称形式流形有限商空间的新奇异不可约对称形式流形例子。
• 这些例子携带的 Beauville-Bogomolov 格无法实现为光滑流形的上同调格，从而扩展了此类格的已知范围。
• 该构造表明奇异对称形式流形可支持与光滑情形具有相同符号和形式的整上同调格。
• 结果表明，商构造保持了构成 Beauville-Bogomolov 格所必需的格理论基本不变量。