[论文解读] On the integral of the error term in the Dirichlet divisor problem

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Oct 6, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文利用Perron公式与Mellin变换研究广义Dirichlet除数问题中误差项Δₖ(x)的积分。研究建立了∫₁ˣ Δₖ(u) du及其均方的精确上界，特别是证明了∫₁ˣ Δ₂(u) du ≪ x^{3/4}，且∫₁ˣ (∫₁ᵘ Δ₂(t) dt)² du ∼ Cx^{5/2}，从而确认了经典除数问题中所 conjectured 的增长速率。

ABSTRACT

Several results are obtained concerning the function $Δ_k(x)$, which represents the error term in the general Dirichlet divisor problem. These include the estimates for the integral of this function, as well as for the corresponding mean square integral. The mean square integral of $Δ_2(x)$ is investigated in detail.

研究动机与目标

• 研究小k值下广义Dirichlet除数问题中误差项Δₖ(x)的积分。
• 利用复分析方法推导∫₁ˣ Δₖ(u) du的点态估计与均方估计。
• 研究Δ₂(x)——经典除数问题误差项——的均方积分行为。
• 探讨是否可基于已知上界获得Δ₂(x)更精细的渐近展开。
• 考察均方结果对Δ(x)大小猜想及其与Lindelöf猜想关联的影响。

提出的方法

• 应用Perron反演公式，将Δₖ(x)表示为含ζᵏ(s)与xˢ/s的复积分形式。
• 对Perron公式进行积分，得到∫₁ˣ Δₖ(u) du的Mellin型积分表达式，涉及ζᵏ(s)/(s(s+1))。
• 利用ζ(s)的矩估计控制Δₖ(u) du的积分，特别针对k=2,3。
• 采用复积分方法与一阶导数估计法，估算由Voronoi型显式公式导出的振荡积分。
• 应用柯西-施瓦茨不等式与误差函数F(x)的已知L²界，控制∫Δ₂(u) du的均方。
• 通过解析延拓与积分估计，推导Δ₂(x)的Mellin变换在临界带内的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于小k值，特别是k=2与k=3，∫₁ˣ Δₖ(u) du的最佳可能上界是什么？
• RQ2 当x → ∞时，∫₁ˣ Δ₂(u) du的均方积分如何增长？
• RQ3 能否通过贝塞尔函数的显式公式对Δ₂(x)导出其积分的精确渐近估计？
• RQ4 使得∫₁ˣ Δ₂(u) du = O(x^{α})成立的最优指数α是多少？
• RQ5 能否利用均方信息改进猜想性上界Δ(x) ≪ x^{1/4+ε}？

主要发现

• 当k=2时，积分∫₁ˣ Δ(u) du满足∫₁ˣ Δ(u) du ≪ x^{3/4}，且其均方积分∫₁ˣ (∫₁ᵘ Δ(t) dt)² du ∼ Cx^{5/2}（x → ∞），其中C > 0。
• 当k=3时，积分∫₁ˣ Δ₃(u) du ≪ε x^{1+ε}，其对应的均方积分≈ε x^{3+ε}。
• 证明了∫Δ₂(u) du的均方满足≪ T^{6-4σ}(log T)^{12-8σ}（1 < σ < 3/2），从而确认了在临界带内的收敛性。
• 本文证明：若Δ(x) ≪ x^{1/4+ε}成立，则在F(x) = -1/(4π²)x log²x + κx log x + λx + G(x)，G(x) = O(x^α)中，α > 3/4的猜想上界是最优的。
• 证明了α > 3/4是必要的：假设α < 3/4将导致矛盾，该矛盾由柯西-施瓦茨不等式与已知的lim sup |Δ(x)x^{-1/4}| = ∞导出。
• 结果支持Δ(x) ≪ x^{1/4+ε}为最优猜想，且F(x)的精化渐近展开（其中α = 3/4 + ε）是合理的。