[论文解读] On the Integration Theory of Equations of Nonholonomic Mechanics

В. В. Козлов|ArXiv.org|Mar 11, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 3被引用 45

一句话总结

本文通过利用不变测度和对称性群，提出了一套非完整力学系统的新型积分理论。该理论通过将已知的第一积分视为约束，并利用可分解的对称性群，提出了一种寻找可积系统的方法，从而发现了新的可积情形——如广义的 Chaplygin 陀螺和 Suslov 问题——在这些情形中，不变环面上的动力学可通过角度变量和解析不变测度约化为拟周期运动。

ABSTRACT

The paper deals with the problem of integration of equations of motion in nonholonomic systems. By means of well-known theory of the differential equations with an invariant measure the new integrable systems are discovered. Among them there are the generalization of Chaplygin's problem of rolling nonsymmetric ball in the plane and the Suslov problem of rotation of rigid body with a fixed point. The structure of dynamics of systems on the invariant manifold in the integrable problems is shown. Some new ideas in the theory of integration of the equations in nonholonomic mechanics are suggested. The first of them consists in using known integrals as the constraints. The second is the use of resolvable groups of symmetries in nonholonomic systems. The existence conditions of invariant measure with analytical density for the differential equations of nonholonomic mechanics is given.

研究动机与目标

• 解决非完整系统相比完整系统缺乏完整积分理论的问题。
• 确定非完整系统存在具有解析密度的不变测度的条件。
• 建立一个通用框架，利用第一积分作为约束和对称性群来积分非完整方程。
• 将 Hamilton–Jacobi 方法和 Chaplygin 降秩方法的适用性扩展到非完整情形。
• 分析可积非完整系统中不变环面的拓扑与动力学结构。

提出的方法

• 将 Liouville 定理应用于具有光滑密度 M(x) 的微分方程，要求 div(Mf) ≡ 0。
• 利用在水平集 Ec 上存在 n−2 个独立第一积分的事实，将系统约化为二维不变流形。
• 应用 Kolmogorov 定理，以角度变量 (x, y) 表示不变环面上的动力学，频率为常数 λ, μ。
• 引入小参数 ε 的摄动方法，研究摄动系统中不变测度的存在性。
• 对快速变量 (x, y) 进行平均，推导出慢变量 I 的有效方程，并分析所得平均系统。
• 应用傅里叶分析和共振条件，确定在频率比为无理数的摄动系统中，不变测度不存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非完整系统会存在具有解析密度的不变测度？
• RQ2 已知的第一积分能否被用作约束，以构造新的可积非完整系统？
• RQ3 可分解的对称性群如何促进非完整系统的可积性？
• RQ4 可积非完整系统中不变环面的拓扑与动力学特性是什么？
• RQ5 当摄动非完整系统不再存在具有解析密度的不变测度时，其条件是什么？

主要发现

• 通过所提方法，证明了非对称球体在平面上滚动的广义 Chaplygin 问题为可积系统。
• 在所提框架下，刚体绕定点转动的 Suslov 问题被识别为新的可积情形。
• 在不变环面上，可积非完整系统的动力学可约化为 ẋ = λ/Φ, ẏ = μ/Φ 的形式，其中 λ, μ 为常数，Φ 为光滑的 2π-周期函数。
• 若平均系统中不存在具有解析密度的不变测度，则摄动系统中也不存在具有解析密度的不变测度。
• 当 n=3 时，若频率比 λ/μ 不为常数，且共振集 ∆∩D 非空，则摄动系统中不存在解析不变测度。
• 若平均系统中不存在解析第一积分，则全摄动系统中也不存在解析第一积分。