[论文解读] On the intelligibility of the universe and the notions of simplicity, complexity and irreducibility

Gregory J. Chaitin|ArXiv.org|Oct 2, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 6

一句话总结

本文主张宇宙的可理解性源于压缩：复杂现象通过简单理论得以理解，这种理解在算法信息论（AIT）中被形式化为生成它们的最小程序的大小。本文表明，某些数学事实是不可约的——其复杂性无法低于其自身描述的复杂性，这意味着数学中可能存在无限复杂性，甚至在物理学中也是如此，从而挑战了存在一个完整且有限的万物理论的观点。

ABSTRACT

We discuss views about whether the universe can be rationally comprehended, starting with Plato, then Leibniz, and then the views of some distinguished scientists of the previous century. Based on this, we defend the thesis that comprehension is compression, i.e., explaining many facts using few theoretical assumptions, and that a theory may be viewed as a computer program for calculating observations. This provides motivation for defining the complexity of something to be the size of the simplest theory for it, in other words, the size of the smallest program for calculating it. This is the central idea of algorithmic information theory (AIT), a field of theoretical computer science. Using the mathematical concept of program-size complexity, we exhibit irreducible mathematical facts, mathematical facts that cannot be demonstrated using any mathematical theory simpler than they are. It follows that the world of mathematical ideas has infinite complexity and is therefore not fully comprehensible, at least not in a static fashion. Whether the physical world has finite or infinite complexity remains to be seen. Current science believes that the world contains randomness, and is therefore also infinitely complex, but a deterministic universe that simulates randomness via pseudo-randomness is also a possibility, at least according to recent highly speculative work of S. Wolfram.

研究动机与目标

• 探究宇宙是否可通过简约与压缩从根本上被理解。
• 考察柏拉图与莱布尼茨思想中简约的哲学根源，并将其与现代计算复杂性概念相联系。
• 利用算法信息论（AIT）形式化‘解释即压缩’这一理念。
• 分析数学与物理系统是否表现出有限或无限复杂性。
• 评估自然界中看似随机的现象是否真实随机，抑或仅为伪随机，暗示其背后存在决定论。

提出的方法

• 将复杂性定义为算法信息内容：即计算给定对象的最小程序的大小。
• 以Chaitin常数Ω作为算法随机性与无限复杂性的典型范例。
• 证明Ω是算法不可约的：任何有限理论都无法证明超过其自身复杂性位数的Ω的位数。
• 将Ω的无限复杂性与π的有限复杂性进行比较，表明尽管π看似随机，但其可被压缩。
• 将压缩原理应用于物理理论，将其视为计算观测结果的程序。
• 主张若宇宙是决定论的但看似随机（如π），则其复杂性可能为有限；但若其包含真正的随机性（如Ω），则其复杂性为无限。

实验结果

研究问题

• RQ1 宇宙能否被理性理解？若能，其条件是什么？
• RQ2 简约、对称性与解释自然现象的能力之间有何关系？
• RQ3 是否存在不可约的数学事实——即无法由更简单的理论解释的事实？
• RQ4 物理世界是否具有有限或无限的算法复杂性？
• RQ5 自然界中看似随机的现象是否可由确定性的伪随机过程解释，如π的数字序列所示？

主要发现

• 数学事实可以是不可约的：某些真理无法从更简单的理论推导出来，暗示形式证明存在固有局限。
• Chaitin常数Ω表现出最大算法复杂性：其数位是算法随机的，无法被压缩。
• Ω的复杂性是无限的，意味着任何有限理论都无法计算超过有限位数的Ω。
• 相比之下，π具有有限复杂性，因为其可由有限算法计算，尽管其表现统计上随机。
• 若量子随机性是基本的，物理宇宙可能具有无限复杂性；若其为伪随机，如沃尔夫勒姆的细胞自动机模型所示，则其复杂性为有限。
• 从宇宙内部来看，真实随机性与伪随机性之间的区别可能是不可判定的，唯有外部观察者才能区分二者。