[论文解读] On the interplay between measurable and topological dynamics

Eli Glasner, Bernard Weiss|ArXiv.org|Aug 24, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 77被引用 77

一句话总结

本文探讨了可测（遍历）动力系统与拓扑动力系统之间的深层类比与对比，重点关注遍历性、混合性、非游荡性、熵以及结构定理。研究证明，严格遍历但非Kronecker的系统无法被建模为拓扑非游荡系统，并且表明零熵的遍历系统可以作为均值非游荡系统的因子出现，凸显了拓扑性质与测度性质之间的关键差异。

ABSTRACT

This article reviews a generous sampling of both classical and more recent results on the interplay between measurable and topological dynamics. In the first part we have surveyed the strong analogies between ergodic theory and topological dynamics as shown in the treatment of recurrence phenomena, equicontinuity and weak mixing, distality and entropy. The prototypical result of the second part is the statement that any abstract measure probability preserving system can be represented as a continuous transformation of a compact space, and thus in some sense ergodic theory embeds into topological dynamics. The work also contains several new results. In particular (1) we prove, for a Polish dynamical system, the equivalence of the existence of a Borel cross-section with the coincidence of recurrence and periodicity; and (2) for compact dynamical systems we provide a converse to the local variational principle.

研究动机与目标

• 研究可测动力系统与拓扑动力系统之间的结构相似性与差异性。
• 澄清拓扑与测度论概念（如遍历性、混合性、非游荡性、熵）之间的关系。
• 确定严格遍历但非Kronecker的系统是否可被表示为拓扑非游荡系统。
• 研究紧致性与均值非游荡性在因子映射下的行为，特别是在零熵系统中。
• 建立存在具有零熵遍历因子的均值非游荡系统的事实。

提出的方法

• 使用测度论与拓扑工具，比较两种框架下的遍历性、弱混合性与不相交性。
• 应用Furstenberg对极小非游荡系统的结构定理，分析中间扩张与因子映射。
• 利用测度分解与紧致群上的Haar测度，分析扩张中的纤维测度。
• 通过在紧致群纤维上取平均构造紧致测度，导出有限对一扩张中的矛盾。
• 利用Jewett-Krieger定理及其相对形式，将抽象测度系统建模为拓扑系统。
• 应用Ornstein-Weiss的紧致性与均值渐近接近性概念，分析熵与因子行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 严格遍历但非Kronecker的保测度系统能否被表示为拓扑非游荡系统？
• RQ2 紧致性性质在保测度系统中是否在因子映射下保持不变？
• RQ3 零熵遍历系统是否必然为均值非游荡拓扑系统的因子？
• RQ4 开覆盖中的拓扑熵与变分原理之间有何关系？
• RQ5 均值渐近接近性与均值非游荡性概念如何与熵及因子系统相关联？

主要发现

• 严格遍历但非Kronecker的系统无法被建模为拓扑非游荡系统，通过纤维测度与扩张类型中的矛盾得以证明。
• 从最大等度连续因子到系统的扩张不能是有限对一的，这与极小情况下的拓扑非游荡性相矛盾。
• 存在零熵且严格遍历的系统，它们是均值非游荡系统的因子，表明均值非游荡性并不蕴含正熵。
• 紧致性在因子映射下不保持，King与Weiss通过构造一个紧致系统及其非紧致因子证明了这一点。
• 开覆盖的变分原理在拓扑设定下成立，且可构造出一个测度，使其达到开覆盖的拓扑熵。
• 拓扑决定性由熵对的缺失来刻画，将拓扑熵与结构简单性联系起来。