[论文解读] On the interplay between notions of additive and multiplicative largeness and its combinatorial applications

Vitaly Bergelson, Daniel Glasscock|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 41被引用 5

一句话总结

本文研究了组合数学与数论中加法与乘法意义上的‘大集合’之间的相互作用，证明了在三种不同方式下，乘法意义上的大集合蕴含加法意义上的大集合。研究证明，在有限域中，乘法大集合可通过平移包含所有非零k次幂；并表明，若乘法子半群中具有正上Banach密度，则其蕴含算术级数的丰富性，从而强化了Szemerédi与van der Waerden的经典定理。

ABSTRACT

Many natural notions of additive and multiplicative largeness arise from results in Ramsey theory. In this paper, we explain the relationships between these notions for subsets of $\mathbb{N}$ and in more general ring-theoretic structures. We show that multiplicative largeness begets additive largeness in three ways and give a collection of examples demonstrating the optimality of these results. We also give a variety of applications arising from the connection between additive and multiplicative largeness. For example, we show that given any $n, k \in \mathbb{N}$, any finite set with fewer than $n$ elements in a sufficiently large finite field can be translated so that each of its elements becomes a non-zero $k^{ ext{th}}$ power. We also prove a theorem concerning Diophantine approximation along multiplicatively syndetic subsets of $\mathbb{N}$ and a theorem showing that subsets of positive upper Banach density in certain multiplicative sub-semigroups of $\mathbb{N}$ of zero density contain arbitrarily long arithmetic progressions. Along the way, we develop a new characterization of upper Banach density in a wide class of amenable semigroups and make explicit the uniformity in recurrence theorems from measure theoretic and topological dynamics. This in turn leads to strengthened forms of classical theorems of Szemerédi and van der Waerden on arithmetic progressions.

研究动机与目标

• 澄清半群与环中加法与乘法意义上的大集合之间的关系。
• 通过三种不同的机制，证明乘法意义上的大集合蕴含加法意义上的大集合。
• 将这些结果应用于丢番图逼近与乘法子半群中的算术级数。
• 在可换半群中发展上Banach密度的新刻画，并强化递归定理。
• 证明在ℕ的某些乘法子半群中，具有正上Banach密度的集合仍包含任意长的算术级数。

提出的方法

• 利用拓扑与测度论动力系统中的工具，特别是具有一致性的递归定理。
• 应用Stone-Čech紧化βℕ与超滤子理论，以刻画诸如拟周期集、IP集与中心集等大集合类别。
• 使用Følner序列与渐近密度来定义并分析可换半群中的上Banach密度。
• 通过矩阵构型与变元词构造显式例子，以证明结果的最优性。
• 应用Hindman定理与IP-Szemerédi定理，推导出大集合中组合构型的推论。
• 利用范数形式与代数数论，分析有限域与数域中的乘法结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ℕ及其相关半群中，乘法意义上的大集合以何种方式蕴含加法意义上的大集合？
• RQ2 在足够大的有限域中，任意大小小于n的有限子集是否都能通过平移使所有元素变为非零k次幂？
• RQ3 乘法拟周期子集是否支持稠密的丢番图逼近？
• RQ4 在ℕ的乘法子半群中，若子集具有正上Banach密度（尽管密度为零），是否仍包含任意长的算术级数？
• RQ5 如何在一大类可换半群中统一刻画上Banach密度？

主要发现

• 乘法意义上的大集合以三种不同方式蕴含加法意义上的大集合，且通过显式构造证明了这些结果的最优性。
• 对任意n,k ∈ ℕ，足够大的有限域中任意大小小于n的有限子集，均可通过平移使所有元素变为非零k次幂。
• 存在一个乘法组合结构丰富的ℕ子集，其中不包含非平凡的三项等差数列，表明乘法丰富性并不蕴含加法丰富性。
• 在ℕ的某些乘法子半群中，尽管密度为零，但具有正上Banach密度的子集仍包含任意长的算术级数。
• 为一大类可换半群发展了上Banach密度的新刻画，从而支持更强形式的递归定理。
• 通过证明递归的一致性并将其推广至乘法设定，本文强化了Szemerédi与van der Waerden的经典定理。