[论文解读] On the intrinsic torsion of spacetime structures

José Figueroa-O’Farrill|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Advanced Differential Geometry Research参考文献 22被引用 51

一句话总结

本文将与非洛伦兹时空（galilean、carrollian、aristotelian、bargmannian）相关的 G-结构的固有扭曲进行分类，并为每一类提供几何学表征。

ABSTRACT

We briefly review the notion of the intrinsic torsion of a $G$-structure and then go on to classify the intrinsic torsion of the $G$-structures associated with spacetimes: namely, galilean (or Newton-Cartan), carrollian, aristotelian and bargmannian. In the case of galilean structures, the intrinsic torsion classification agrees with the well-known classification into torsionless, twistless torsional and torsional Newton-Cartan geometries. In the case of carrollian structures, we find that intrinsic torsion allows us to classify Carroll manifolds into four classes, depending on the action of the Carroll vector field on the spatial metric, or equivalently in terms of the nature of the null hypersurfaces of a lorentzian manifold into which a carrollian geometry may embed. By a small refinement of the results for galilean and carrollian structures, we show that there are sixteen classes of aristotelian structures, which we characterise geometrically. Finally, the bulk of the paper is devoted to the case of bargmannian structures, where we find twenty-seven classes which we also characterise geometrically while simultaneously relating some of them to the galilean and carrollian structures. This paper is dedicated to Dmitri Vladimirovich Alekseevsky on his 80th birthday.

研究动机与目标

• 动机：将固有扭曲作为时空几何中G-结构可积性的第一阻碍进行研究。
• 识别定义 galilean、carrollian、aristotelian、bargmannian 结构的 G-群及特征张量。
• 确定固有扭曲的 G-模结构并将所有不同的 G-结构类型在等价意义下分类。
• 以结构的定义张量（如时钟形式、空间度量、零向量场等）来给出每一固有扭曲类别的几何表征。

提出的方法

• 通过 Spencer 微分回顾 G-结构理论、适配联结与固有扭曲。
• 为每种时空 G-结构类型计算 Spencer 微分的 cokernel 以识别固有扭曲分量。
• 确定固有扭曲空间的 G-子模分解，并用如 clock form、空间度量、和 null 向量场等特征张量来解释它们。
• 通过检验定义张量的导数或 Lie 导数来给出每一类的几何表征（例如 dτ、Lξh、∇ξ）。
• 通过空减少和嵌入的空法线超曲面，在 bargmannian 结构与 galilean/carrollian 结构之间建立对应关系和约简。

实验结果

研究问题

• RQ1 对应于 galilean、carrollian、aristotelian 和 bargmannian 时空几何的 G-结构的固有扭转是什么？
• RQ2 如何在几何上以定义张量（clock form、空间度量、null 向量场）来表征每种结构的固有扭转？
• RQ3 每种时空结构会产生多少个不同的固有扭转类别，它们与已知分类（例如 galilean 的 NC、TTNC、TNC）有何关系？
• RQ4 通过 null 超曲面，bargmannian 结构与它们的 galilean/carrollian 约简或嵌入之间的关系是什么？

主要发现

• galilean 结构的固有扭转分类与已知的 NC、TTNC、和 TNC 的划分一致。
• carrollian 结构包含四个固有扭转类别，由 Carroll 向量场对空间度量的作用以及诱导的空超曲面的性质来区分。
• aristotelian 结构产生十六个固有扭转类别，这些类别是在 galilean 与 carrollian 情况基础上细化得到。
• bargmannian 结构呈现二十七个固有扭转类别，具有几何表征并与 galilean 与 carrollian 结构相联系。
• 固有扭转位于 Spencer 微分的 cokernel，且其解释与定义张量的导数（如 dτ 和 ∇ξξ 等）有关。
• 类别之间存在对应关系和偏序，连接 bargmannian、galilean 和 carrollian 结构。