[论文解读] On the invariance of the total Monge-Ampere volume of Hermitian metrics

Ionuţ Chiose|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文建立了已知结果的逆定理：在紧致复流形上，一个Hermitian度量保持总Monge-Ampère体积当且仅当其幂满足 $ i\bar{\partial}\bar{\partial}g^k = 0 $ 对所有 $ k = 1, \dots, n-1 $。证明使用了Stokes定理和光滑测试函数的积分，表明Monge-Ampère体积变化的消失意味着曲率形式的消失，从而解决了复几何中的一个问题，并刻画了满足比较原理的度量。

ABSTRACT

In this note, we describe the Hermitian metrics that leave the total Monge-Ampere volume invariant. In particular, we give several characterizations of the Hermitian metrics which satisfy the comparison principle for the complex Monge-Ampere operator

研究动机与目标

• 为解决[5]中的问题29和[4]中的问题11.1，即关于Hermitian度量下总Monge-Ampère体积的不变性。
• 刻画满足复Monge-Ampère算子比较原理的Hermitian度量。
• 建立一个已知结果的逆定理：若对所有 $ g $-拟凸函数，总Monge-Ampère体积保持不变，则 $ i\partial\bar{\partial}g^k = 0 $ 对 $ k = 1, \dots, n-1 $ 成立。
• 在Hermitian度量的背景下，建立体积不变性、曲率消失与比较原理之间完全等价性。

提出的方法

• 两次应用Stokes定理，将 $ (g + \varepsilon i\partial\bar{\partial}u)^n $ 的积分与 $ g^k \wedge (i\partial\bar{\partial}u)^{n-k} $ 的积分联系起来。
• 将 $ (g + \varepsilon i\partial\bar{\partial}u)^n $ 展开为 $ \varepsilon $ 的多项式，从而导出 $ g^k \wedge (i\partial\bar{\partial}u)^{n-k} $ 的正交性条件。
• 固定 $ k $，并使用任意光滑函数 $ u_1, \dots, u_{n-k} $，推导出 $ \int_X g^k \wedge i\partial\bar{\partial}u_1 \wedge \cdots \wedge i\partial\bar{\partial}u_{n-k} = 0 $。
• 再次应用Stokes定理，推导出对任意 $ u_1 $，有 $ \int_X u_1 i\partial\bar{\partial}g^k \wedge i\partial\bar{\partial}u_2 \wedge \cdots \wedge i\partial\bar{\partial}u_{n-k} = 0 $，从而推出 $ i\partial\bar{\partial}g^k \wedge i\partial\bar{\partial}u_2 \wedge \cdots \wedge i\partial\bar{\partial}u_{n-k} = 0 $。
• 构造局部测试函数 $ u_i = z_{l_i} \bar{z}_{m_i} $，以证明 $ i\partial\bar{\partial}g^k $ 的所有分量在每一点都消失，因此 $ i\partial\bar{\partial}g^k = 0 $。
• 通过[3]和[2]中的已知结果，建立体积不变性、曲率消失与比较原理之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有 $ g $-拟凸函数下总Monge-Ampère体积的不变性是否蕴含 $ i\partial\bar{\partial}g^k = 0 $ 对 $ k = 1, \dots, n-1 $ 成立？
• RQ2 满足复Monge-Ampère算子比较原理的Hermitian度量的精确刻画是什么？
• RQ3 是否可以利用条件 $ \int_X (g + i\partial\bar{\partial}u)^n = \int_X g^n $ 对所有 $ u \in PSH(X,g) $ 来刻画曲率形式消失的度量？
• RQ4 比较原理是否等价于 $ i\partial\bar{\partial}g^k $ 对 $ k = 1, \dots, n-1 $ 的消失？
• RQ5 在紧致复流形上，此类曲率消失的几何与上同调后果是什么？

主要发现

• 本文证明了，紧致复流形上的Hermitian度量 $ g $ 满足对所有 $ u \in PSH(X,g) $ 有 $ \int_X (g + i\partial\bar{\partial}u)^n = \int_X g^n $，当且仅当对所有 $ k = 1, \dots, n-1 $ 有 $ i\partial\bar{\partial}g^k = 0 $，从而解决了长期悬而未决的问题。
• 通过分部积分和任意光滑测试函数的使用，建立了体积不变性与 $ i\partial\bar{\partial}g^k $ 消失之间的等价性。
• 在定理0.2中的比较原理（条件v）被证明与 $ i\partial\bar{\partial}g^k $ 的消失等价，确认了其在拟凸分析理论中的核心作用。
• 即使不假设Kähler或Gauduchon条件，条件 $ i\partial\bar{\partial}g = 0 $ 和 $ i\partial g \wedge \bar{\partial}g = 0 $ 也被证明与体积不变性和比较原理等价。
• 给出了一个直接证明：若 $ i\partial\bar{\partial}g \geq 0 $ 且 $ i\partial g \wedge \bar{\partial}g \geq 0 $，则两个形式都必须消失，利用恒等式 $ d(ig^{n-2} \wedge \bar{\partial}g) = (n-2)g^{n-3} \wedge i\partial g \wedge \bar{\partial}g + g^{n-2} \wedge i\partial\bar{\partial}g $ 和Stokes定理。
• 本文构造了此类度量的非Kähler流形例子，包括非Kähler曲面上Gauduchon度量与Kähler流形的乘积，表明该类度量非平凡。