[论文解读] On the invariant measure of the random difference equation $X_n=A_n X_{n-1}+ B_n$ in the critical case

Sara Brofferio, Dariusz Buraczewski+1 more|ArXiv.org|Sep 10, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文研究了随机差分方程 $X_n = A_n X_{n-1} + B_n$ 在临界情形下不变 Radon 测度 ν 的性质，其中 $\mathbb{E}[\log A_1] = 0$。证明了当 $z \to \infty$ 时，经适当拉伸的测度 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ 的弱极限存在，并在 $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上定义了一个齐次测度，从而在无限制性支撑或矩假设的条件下，建立了 ν 在无穷远处的渐近行为。

ABSTRACT

We consider the autoregressive model on $\R^d$ defined by the following stochastic recursion $X_n = A_n X_{n-1}+B_n$, where $\{(B_n,A_n)\}$ are i.i.d. random variables valued in $\R^d imes \R^+$. The critical case, when $\E\big[\log A_1\big]=0$, was studied by Babillot, Bougeorol and Elie, who proved that there exists a unique invariant Radon measure $ν$ for the Markov chain $\{X_n \}$. In the present paper we prove that the weak limit of properly dilated measure $ν$ exists and defines a homogeneous measure on $\R^d\setminus \{0\}$.

研究动机与目标

• 理解随机差分方程 $X_n = A_n X_{n-1} + B_n$ 在临界情形下唯一不变 Radon 测度 ν 的渐近行为，其中 $\mathbb{E}[\log A_1] = 0$。
• 通过分析当 $z \to \infty$ 时拉伸测度 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ 的弱极限，刻画 ν 在无穷远处的尾部行为。
• 在一般条件下建立 $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上齐次极限测度的存在性，无需对 $A_1$ 的分布施加非周期性或小矩假设。
• 证明极限齐次测度的非退化性，确保其不恒为零。

提出的方法

• 作者通过 $ax+b$ 群 $G = \mathbb{R}^d \rtimes \mathbb{R}_+^*$ 的群作用分析马尔可夫链 $X_n$，其中 $(b,a) \cdot x = ax + b$。
• 他们研究了 ν 沿 $z^{-1}$ 的拉伸，即 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$，并证明当 $z \to \infty$ 时其弱收敛。
• 证明依赖于谱理论，并在随机游动于群 $G$ 的背景下使用泊松方程，特别是分析算子 $A^\lambda$ 及其当 $\lambda \nearrow 1$ 时的收敛性。
• 他们应用 Choquet-Deny 定理于调和函数，并使用分布意义上的傅里叶分析来控制势核的衰减。
• 作者定义了一个与中心化增量 $Y = \log A_1$ 相关的函数 $r(x)$，并利用其性质建立可积性与衰减条件。
• 他们使用函数类 $\mathcal{F}(\overline{\mu})$（其傅里叶变换具有紧台）以确保泊松方程框架下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界随机差分方程 $X_n = A_n X_{n-1} + B_n$ 的不变 Radon 测度 ν 在无穷远处是否表现出齐次尾部结构？
• RQ2 当 $z \to \infty$ 时，拉伸测度 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ 的弱极限是什么？
• RQ3 在 $\mu$ 的矩和支撑条件一般的情况下，能否证明极限齐次测度是非退化的？
• RQ4 当 $\mathbb{E}[\log A_1] = 0$ 时，ν 的渐近行为如何依赖于 $A_1$ 的分布？
• RQ5 极限测度是否为特定阶次的齐次测度，其径向分解是什么？

主要发现

• 当 $z \to \infty$ 时，$\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ 的弱极限存在，并在 $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上定义了一个齐次 Radon 测度，这是主要的结构性结果。
• 极限测度为零阶齐次，即在缩放下不变，并具有类似于收缩情形的径向分解。
• 在给定的矩和支撑条件下，极限测度是非退化的，即不恒为零，从而确保渐近行为具有意义。
• 该结果无需要求 $\mu_A$ 的支撑生成 $\mathbb{R}_+^*$ 或为扩散分布，从而将先前结果推广至更广的分布类。
• 证明表明，势核 $r(x)$ 的衰减速率取决于矩条件，可能为指数衰减或多项式衰减，从而在泊松方程框架下实现收敛。
• 作者证明了当 $\mathbb{E}[|\log A_1|^{4+\varepsilon}] < \infty$ 时，函数 $r$ 属于类 $\mathcal{F}(\overline{\mu})$，这确保了可积性，并使谱方法得以应用。