[论文解读] On the irreducible representations of generalized quantum doubles

Sebastian Burciu|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文对半单霍普夫代数上具有满偏移配对的广义量子双代数的不可约表示进行了完整分类，推广了有限群的量子双代数表示的著名参数化方法。它建立了这些表示的张量积公式，并表明其格罗滕迪克环具有类似于格林函子和余中心扩张的结构，从而扩展了关于量子双代数和霍赫希尔德上同调环的已知结果。

ABSTRACT

A description of all the irreducible representations of generalized quantum doubles associated to skew pairings of semisimple Hopf algebras is given. In particular a description of the irreducible representations of semisimple Drinfeld doubles is obtained. It is shown that the Grothendieck ring of these generalized quantum doubles have a structure similar to the rings that arise from Green functors. In order to do this we give a formula for the tensor product of any two such irreducible representations.

研究动机与目标

• 对当 $U$ 和 $H$ 为半单霍普夫代数且配对诱导出同态 $U \to H^{*\text{cop}}$ 时，广义量子双代数 $D_{\nu}(U,H)$ 的所有不可约表示进行分类。
• 将有限群 $G$ 的德林费尔德双代数 $D(G)$ 的不可约表示参数化推广到广义量子双代数的设定中。
• 通过共轭子代数上的诱导模，描述这些不可约表示的张量积结构。
• 证明 $D_{\nu}(U,H)$ 的格罗滕迪克环具有类似于格林函子和余中心霍普夫代数扩张的环结构。
• 建立表示范畴作为由霍普夫代数同态诱导的张量函子的相对中心的范畴解释。

提出的方法

• 应用半单霍普夫代数的克利福德理论，通过正常霍普夫子代数 $K(U)$（即 $U$ 的最大中心霍普夫子代数）分析 $D_{\nu}(U,H)$ 的表示。
• 利用 $\mathrm{Rep}(U)$ 的通用分次群 $G$（定义为 $K(U) = kG^*$）通过共轭类和等变模对不可约表示进行参数化。
• 将霍普夫子代数 $L(g) \subseteq H$ 定义为中心化代数的推广，并通过 $S_{g,M} = H \otimes_{L(g)} M$ 构造不可约表示，其中 $M \in \mathcal{I}_g$。
• 通过双陪集分解推导张量积公式：$(H \otimes_{L(g)} M) \otimes (H \otimes_{L(h)} N) \cong \bigoplus_{x \in \mathcal{D}} H \otimes_{L({}^xgh)} P(x)$，其中 $P(x)$ 为受限模与诱导模的张量积。
• 建立从格罗滕迪克环 $K_0(D_{\nu}(U,H))$ 到中心化子 $\mathrm{C}_{\mathbb{Z}G}(\mathbb{Z}F)$ 的环满同态，表明其结构与格林函子及余中心扩张的环结构相似。
• 将表示范畴 $\mathrm{Rep}(D_{\nu}(U,H))$ 解释为由满射霍普夫代数同态 $f: U \to H^{*\text{cop}}$ 诱导的函子 $f_*$ 的相对中心。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $U$ 和 $H$ 为半单代数且配对诱导出同态 $U \to H^{*\text{cop}}$ 时，如何对广义量子双代数 $D_{\nu}(U,H)$ 的不可约表示进行分类？
• RQ2 两个 $D_{\nu}(U,H)$ 不可约表示的张量积结构是什么？它如何推广有限群德林费尔德双代数的已知公式？
• RQ3 $D_{\nu}(U,H)$ 的格罗滕迪克环如何与格林函子或余中心扩张的已知环结构相关联？
• RQ4 $\mathrm{Rep}(D_{\nu}(U,H))$ 的范畴解释如何通过张量函子的相对中心来描述？
• RQ5 在多大程度上，$D_{\nu}(U,H)$ 的表示理论与有限群 $G$ 的 $D(G)$ 表示理论相一致？

主要发现

• 所有 $D_{\nu}(U,H)$ 的不可约表示均形如 $S_{g,M} = H \otimes_{L(g)} M$，其中 $g$ 取遍 $\mathrm{Rep}(U)$ 的通用分次群 $G$ 中 $F$-轨道的代表元，$M$ 为 $\mathcal{I}_g$ 中的不可约表示。
• 两个不可约表示的张量积为 $(H \otimes_{L(g)} M) \otimes (H \otimes_{L(h)} N) \cong \bigoplus_{x \in \mathcal{D}} H \otimes_{L({}^xgh)} P(x)$，其中 $\mathcal{D}$ 为双陪集代表元的集合，$P(x)$ 为 $L(g)$ 与 $L(h)$ 交集的诱导模。
• $K_0(D_{\nu}(U,H))$ 的分解形式为 $\bigoplus_{g \in \Gamma} K_0(\mathcal{B}_g)$，其乘法满足 $K_0(\mathcal{B}_g) K_0(\mathcal{B}_h) \subseteq \bigoplus_{x \in \mathcal{D}} K_0(\mathcal{B}_{{}^xgh})$，反映出与格林函子相似的结构。
• 存在一个从 $K_0(D_{\nu}(U,H))$ 到 $\mathrm{C}_{\mathbb{Z}G}(\mathbb{Z}F)$ 的满射环同态，将 $[S_{g,M}]$ 映射为 $(\dim M) \cdot s(g)$，其中 $s(g)$ 为 $\mathbb{Z}G$ 中的轨道和，推广了西比尔斯与威瑟斯庞的结果。
• $\mathrm{Rep}(D_{\nu}(U,H))$ 的表示范畴等价于由满射霍普夫代数同态 $f: U \to H^{*\text{cop}}$ 诱导的函子 $f_*$ 的相对中心，提供了范畴解释。
• $D_{\nu}(U,H)$ 的格罗滕迪克环结构与文献 [30] 中对阿贝尔余中心扩张所描述的环结构一致，确认了其与霍赫希尔德上同调及表示理论中已知构造之间深刻的结构类比。