[论文解读] On The Isoperimetric Spectrum of Graphs

Amir Daneshgar, Hossein Hajiabolhassan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Graph theory and applications参考文献 30被引用 1

一句话总结

本文引入了有向图的第k个等周常数，定义为从k个不相交顶点子集出发的最小平均出边归一化流量，建立了全新的等周谱。证明了类Federer-Fleming定理，区分了第k个常数与k-划分最小值之间的差异，并推导出广义Cheeger不等式与Courant-Hilbert不等式，将该谱与拉普拉斯特征值联系起来。

ABSTRACT

In this paper we introduce the k’th isoperimetric constant of a directed graph as the minimum of the mean outgoing normalized flows from a given set of k disjoint subsets of the vertex set of the graph. In this direction we show that the second isoperimetric constant in the general setting coincides with (the mean version of) the classical Cheeger constant of the graph, while for the rest of the spectrum we show that there is a fundamental difference between the k’th isoperimetric constant and the number obtained by taking the minimum over all k-partitions. In this regard, we define the concept of a supergeometric graph by proving a Federer-Fleming-type theorem and analyzing the parameters through the corresponding functional definition. We also study the relationships of the isoperimetric spectrum to the classical spectrum of Laplacian eigenvalues, by proving a generalized Cheeger-type inequality as well as generalized Courant-Hilbert inequalities in the context of graph no-homomorphism theorems.

研究动机与目标

• 为有向图的第k个等周常数定义并分析其作为新的谱不变量。
• 阐明第k个等周常数与k-划分最小值之间的区别，揭示其根本的结构差异。
• 通过类Federer-Fleming定理，建立超几何图的功能特征刻画。
• 通过广义Cheeger型不等式与Courant-Hilbert不等式，将等周谱与经典拉普拉斯特征值谱联系起来。
• 在等周与谱图论的背景下，拓展图无同态定理。

提出的方法

• 将第k个等周常数定义为k个不相交顶点子集的平均出边归一化流量的下确界。
• 证明第二个等周常数对应于经典Cheeger常数的平均版本。
• 通过类Federer-Fleming定理，将等周参数与函数参数关联，引入超几何图的概念。
• 推导出广义Cheeger型不等式，将第k个等周常数与第k个最小的拉普拉斯特征值联系起来。
• 利用图无同态定理，建立广义Courant-Hilbert不等式，以界定谱间隙。
• 采用泛函分析技术，通过变分原理刻画等周谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 有向图中第k个等周常数与顶点集k-划分的最小值之间有何区别？
• RQ2 何种功能特征定义了超几何图？其与等周和几何性质有何关联？
• RQ3 等周谱在多大程度上与有向图中的拉普拉斯特征值谱相关联？
• RQ4 能否为有向图中的高阶等周常数建立广义Cheeger不等式？
• RQ5 图无同态定理在等周谱背景下如何促进谱界的推导？

主要发现

• 第二个等周常数与经典Cheeger常数的平均版本一致，验证了新定义在已知情形下的合理性。
• 第k个等周常数与k-划分最小值之间存在根本性差异，表明前者捕捉了更精细的结构特性。
• 证明了类Federer-Fleming定理，使得可通过函数参数定义超几何图。
• 建立了广义Cheeger型不等式，将第k个等周常数与第k个最小的拉普拉斯特征值联系起来。
• 推导出广义Courant-Hilbert不等式，通过图无同态定理扩展了谱界。
• 表明等周谱为谱图论中基于划分的度量提供了一个有意义的替代方案。