[论文解读] On the isothermal compressible multi-component mixture flow: the local existence and maximal $L_p-L_q$ regularity of solutions

Tomasz Piasecki, Yoshihiro Shibata+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2019

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

本文建立了描述等温可压缩多组分气体混合物的系统在局部时间内的解的存在性以及最大 $L_p$-$L_q$ 正则性，该系统将可压缩的 Navier-Stokes 方程与一个由交叉扩散通量控制的强耦合扩散子系统相结合。分析基于对称化与线性化技术，证明了在扩散矩阵和压强定律的一般假设下系统的适定性。

ABSTRACT

We consider the initial-boundary value problem for the system of equations describing the flow of compressible isothermal mixture of arbitrary large number of components. The system consists of the compressible Navier-Stokes equations and a subsystem of diffusion equations for the species. The subsystems are coupled by the form of the pressure and the strong cross-diffusion effects in the diffusion fluxes of the species. Assuming the existence of solutions to the symmetrized and linearized equations, proven in [35], we derive the estimates for the nonlinear equations and prove the local-in-time existence and maximal $L_p-L_q$ regularity of solutions.

研究动机与目标

• 建立描述等温可压缩多组分气体混合物的系统的局部时间解的存在性。
• 研究在强交叉扩散耦合背景下解的最大 $L_p$-$L_q$ 正则性。
• 在压强与扩散通量的广义本构定律下分析系统的适定性。
• 解决物种质量守恒子系统具有退化抛物性质所带来的数学挑战。
• 通过先验估计与不动点方法，将正则性结果从线性化系统推广至非线性系统。

提出的方法

• 将系统表述为一组耦合的可压缩 Navier-Stokes 方程与 $n$ 个具有速度依赖通量的物种质量守恒方程。
• 采用系统对称化与线性化版本，以线性化问题解的存在性作为出发点。
• 利用本构定律 $p = \sum_k \varrho_k / m_k$（恒温下符合玻意耳定律）将压强表示为组分密度的函数。
• 通过满足 $C{\cal Y} = {\cal Y}C^T$、$N(C) = \text{lin}\{\vec{Y}\}$ 与 $R(C) = \vec{U}^\perp$ 的矩阵 $C_{kl}$ 建模扩散通量，以确保质量守恒。
• 引入扩散矩阵 $D_{kl} = C_{kl}/(\varrho Y_k)$，其为对称、半正定，且在 $\vec{U}^\perp$ 上正定，从而保证强椭圆性。
• 通过变量变换与矩阵分析，证明通量矩阵 $\cal{B}$ 的行列式在 $(x,t)$ 上被正的常数从下方一致有界，从而确保椭圆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可压缩多组分气体混合物的初边值问题存在局部时间解？
• RQ2 对于具有强交叉扩散的非线性系统，解的最大 $L_p$-$L_q$ 正则性类是什么？
• RQ3 扩散矩阵 $C$ 及其导出矩阵 $D$ 的结构性质如何影响系统的强椭圆性与可解性？
• RQ4 通过对称化与矩阵结构假设，能否克服物种质量守恒方程的退化性？
• RQ5 通量矩阵 $\cal{B}$ 的行列式正性在确保非线性系统适定性方面起什么作用？

主要发现

• 本文证明了描述等温可压缩多组分气体混合物的非线性方程组在局部时间内的解的存在性。
• 证明了解在最大 $L_p$-$L_q$ 正则性类中，即当 $p, q \in (1, \infty)$ 且 $p > 2$ 时，解属于特定的最大正则性类。
• 分析表明，扩散矩阵 $D$ 为对称、半正定，且在 $\vec{U}^\perp$ 上正定，从而保证了系统所需的强椭圆性。
• 通量矩阵 $\cal{B}$ 的行列式在 $(x,t)$ 上被正的常数一致从下方有界，即 $\det \cal{B} \geq C > 0$，这对椭圆性与可解性至关重要。
• 对于特殊矩阵结构 (13)，证明了 $\cal{B}$ 的所有顺序主子式均为正，从而确认 $\cal{B} > 0$ 一致成立。
• 在条件 2（约化矩阵 $\bar{D}$ 的最小特征值一致正）下，强椭圆性常数 $c(x,t) \geq \kappa > 0$ 在 $\overline{\Omega} \times [0,T]$ 上被一致从下方有界。