[论文解读] On the Iwasawa Main conjecture of abelian varieties over function fields

King Fai Lai, Ignazio Longhi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文证明了函数域上阿贝尔簇的伊wasawa主猜想的特殊情况，建立了插值扭曲Hasse-Weil L-函数的p进L-函数，并通过特征理想等式将阿贝尔簇及其对偶的Selmer群联系起来。关键结果是通过Iwasawa理论中的一个一般代数函数方程，证明了阿贝尔簇A及其对偶A^t的对偶Selmer群之间存在伪同构关系。

ABSTRACT

We study a geometric analogue of the Iwasawa Main Conjecture for abelian varieties in the two following cases: constant ordinary abelian varieties over $Z_p^d$-extensions of function fields ($d\geq 1$) ramified at a finite set of places, and semistable abelian varieties over the arithmetic $Z_p$-extension of a function field. One of the tools we use in our proof is a pseudo-isomorphism relating the duals of the Selmer groups of $A$ and its dual abelian variety $A^t$. This holds as well over number fields and is a consequence of a quite general algebraic functional equation.

研究动机与目标

• 在两种关键情形下建立函数域上阿贝尔簇的Iwasawa主猜想：常数普通阿贝尔簇在Z_p^d-扩张上，以及半稳定阿贝尔簇在算术Z_p-扩张上。
• 证明全球域上阿贝尔簇Selmer群的一般代数函数方程，关联A及其对偶A^t的对偶Selmer群。
• 在Iwasawa代数Q(Λ)中构造一个插值临界点处扭曲Hasse-Weil L-值的p进L-函数。
• 在可能普通约化下，通过伪同构关系，证明A的对偶Selmer群的特征理想等于A^t的对偶Selmer群的特征理想。

提出的方法

• 利用Iwasawa理论中的一般代数函数方程，推导出阿贝尔簇A及其对偶A^t的对偶Selmer群之间的伪同构关系。
• 应用受控Γ-系统和配对理论，将Selmer群与syntomic上同调及Galois上同调联系起来。
• 利用Frobenius作用和Z_p^d-扩张的Iwasawa理论，分析Selmer群的结构。
• 利用Iwasawa代数Λ = Z_p[[Γ]]及其分式域Q(Λ)，定义并研究p进L-函数。
• 构造一个p进L-函数L_A/L ∈ Q(Λ)，使其对Γ的所有连续特征标ω，插值扭曲L-值L_T(A,ω,1)。
• 在Λ上应用反向对称对合λ ↦ λ^#，以关联A与A^t的Selmer群的特征理想。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数域上常数普通阿贝尔簇在Z_p^d-扩张上，Iwasawa主猜想是否成立？
• RQ2 是否存在一个位于Iwasawa代数中的p进L-函数，插值函数域上阿贝尔簇的扭曲Hasse-Weil L-值？
• RQ3 在Iwasawa模设置下，阿贝尔簇A及其对偶A^t的对偶Selmer群之间有何关系？
• RQ4 能否通过Iwasawa代数中的函数方程，将A的对偶Selmer群的特征理想与A^t的对偶Selmer群的特征理想关联起来？
• RQ5 在函数域设定下，p进L-函数与Selmer群的特征元之间的确切关系是什么？

主要发现

• 本文构造了一个p进L-函数L_A/L ∈ Q(Λ)，使得对任意连续特征标ω: Γ → C^×，有ω(L_A/L)与L_T(A,ω,1)成比例，且存在显式fudge因子*_{A,T,ω}，在半稳定情形下该因子为1。
• 在常数普通阿贝尔簇情形下，p进L-函数满足L_A/L ≡ ⋆_{A,L} · c_{A/L} mod Λ^×，其中⋆_{A,L} = 1，因此p进L-函数是特征理想的生成元。
• 在算术Z_p-扩张上半稳定的阿贝尔簇情形下，p进L-函数无fudge因子地插值扭曲L-值，且特征元c_{A/L}与p进L-函数生成相同的理想。
• 在分歧位置处可能普通约化下，对偶Selmer群X_p(A/L)与X_p(A^t/L)之间存在伪同构关系，即X_p(A/L) ∼ X_p(A/L)^# ∼ X_p(A^t/L)，从而证明了Selmer群的函数方程。
• 对偶Selmer群X_p(A/L)的特征理想满足χ(X_p(A/L)) = χ(X_p(A/L))^# = χ(X_p(A^t/L))，即使Selmer群非挠也成立。
• 在非挠情形下，p进L-函数恒为零，与特征理想为零的预期一致。