[论文解读] On the $k$-error linear complexity for $2^n$-periodic binary sequences via Cube Theory

Jianqin Zhou, Wanquan Liu|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文引入立方体理论以分析 $2^n$-周期二元序列的 $k$-错误线性复杂度，实现了具有最大稳定 $k$-错误线性复杂度的序列构造。通过将序列分解为不相交的立方体并推导计数公式，本文建立：当 $2^{l-1} \leq k < 2^l$ 时，最大 $k$-错误线性复杂度为 $2^n - (2^l - 1)$，并提供了一个用于表征具有固定线性复杂度的多立方体序列的框架。

ABSTRACT

The linear complexity and k-error linear complexity of a sequence have been used as important measures of keystream strength, hence designing a sequence with high linear complexity and $k$-error linear complexity is a popular research topic in cryptography. In this paper, the concept of stable $k$-error linear complexity is proposed to study sequences with stable and large $k$-error linear complexity. In order to study k-error linear complexity of binary sequences with period $2^n$, a new tool called cube theory is developed. By using the cube theory, one can easily construct sequences with the maximum stable $k$-error linear complexity. For such purpose, we first prove that a binary sequence with period $2^n$ can be decomposed into some disjoint cubes and further give a general decomposition approach. Second, it is proved that the maximum $k$-error linear complexity is $2^n-(2^l-1)$ over all $2^n$-periodic binary sequences, where $2^{l-1}\le k&lt;2^{l}$. Thirdly, a characterization is presented about the $t$th ($t&gt;1$) decrease in the $k$-error linear complexity for a $2^n$-periodic binary sequence $s$ and this is a continuation of Kurosawa et al. recent work for the first decrease of k-error linear complexity. Finally, A counting formula for $m$-cubes with the same linear complexity is derived, which is equivalent to the counting formula for $k$-error vectors. The counting formula of $2^n$-periodic binary sequences which can be decomposed into more than one cube is also investigated, which extends an important result by Etzion et al..

研究动机与目标

• 为解决线性复杂度在小扰动下的不稳定性，提出稳定 $k$-错误线性复杂度的概念。
• 开发一种新的分析工具——立方体理论，用于研究 $2^n$-周期二元序列中的 $k$-错误线性复杂度。
• 表征具有多个独立立方体且固定线性复杂度的序列，扩展了以往仅针对具有两个 $k$-错误复杂度值的序列的研究。
• 推导出分解为多个立方体的序列的精确计数公式，推广了 Etzion 等人的结果。

提出的方法

• 提出将 $2^n$-周期二元序列分解为不相交立方体的方法，使每个立方体对整体线性复杂度的贡献可独立分析。
• 建立一种标准的立方体分解方法，确保立方体之间相对独立，从而支持序列的模块化构造。
• 利用立方体理论推导出具有相同线性复杂度的 $m$-立方体的计数公式，该公式等价于 $k$-错误向量的计数。
• 将该理论应用于表征 $k$-错误线性复杂度的第 $t$（$t>1$）次下降，扩展了以往对首次下降的研究。
• 引入独立立方体构造的条件，如 $2^{j_1} > 2^t$，以确保在复杂度计算过程中立方体之间互不干扰。
• 推导出具有三个独立立方体、每个具有指定线性复杂度的序列数量的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $2^n$-周期二元序列，其最大可能的稳定 $k$-错误线性复杂度是多少？如何实现？
• RQ2 如何系统地将 $2^n$-周期二元序列分解为不相交的立方体，以促进 $k$-错误线性复杂度的分析？
• RQ3 具有 $m$-立方体且线性复杂度相同的序列的计数公式是什么？它与 $k$-错误向量有何关系？
• RQ4 如何表征 $2^n$-周期二元序列的 $k$-错误线性复杂度的第 $t$ 次下降（$t>1$）？
• RQ5 何种条件可确保序列中多个立方体可独立构造而不影响其各自的线性复杂度？

主要发现

• 对于 $2^n$-周期二元序列，$k$-错误线性复杂度的最大值为 $2^n - (2^l - 1)$，其中 $2^{l-1} \leq k < 2^l$，此值是在 $k$-错误扰动下可达到的最高值。
• 提出了一种通用的分解方法，可将任意 $2^n$-周期二元序列划分为不相交的立方体，从而支持线性复杂度的模块化分析。
• 当 $t=3$ 时，具有三个独立立方体且指定线性复杂度的 $2^n$-周期二元序列的数量由一个包含幂次与汉明权重条件的闭式公式给出。
• 推导出具有相同线性复杂度的 $m$-立方体的计数公式，并证明其与 $k$-错误向量的数量等价。
• 本文将 Etzion 等人关于仅具有两个 $k$-错误复杂度值（即 $L(s)$ 或 0）的序列结果，扩展至具有多个立方体且具有固定非零线性复杂度的序列。
• 该理论使得通过确保任意少量更改均无法使线性复杂度降至原始值以下，从而实现最大稳定 $k$-错误线性复杂度序列的构造。