[论文解读] On the K-theory of crossed products by automorphic semigroup actions

Joachim Cuntz, Siegfried Echterhoff+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文在 $P$ 嵌入满足 Toeplitz 条件且满足 Baum-Connes 猜想的群 $G$ 的条件下，建立了由自同构半群作用生成的约化交叉积 $A times_{\alpha,r} P$ 的 $K$-理论公式。通过一个在完全不连通 $G$-空间中由独立紧开集族导出的典范 $KK^G$-类，作者应用下降原理，将交叉积的 $K$-理论与稳定子子群联系起来，从而得到一个推广早期半群 $C^*$-代数结果的分解公式。

ABSTRACT

Let P be a semigroup that admits an embedding into a group G. Assume that the embedding satisfies a certain Toeplitz condition and that the Baum-Connes conjecture holds for G. We prove a formula describing the K- theory of the reduced crossed product A timesα,r P by any automorphic action of P. This formula is obtained as a consequence of a result on the K-theory of crossed products for special actions of G on totally disconnected spaces. We apply our result to various examples including left Ore semigroups and quasi-lattice ordered semigroups. We also use the results to show that for certain semigroups P, including the ax + b-semigroup for a Dedekind domain R, the K-theory of the left and right regular semigroup C*-algebras of P coincide, although the structure of these algebras can be very different.

研究动机与目标

• 将半群 $C^*$-代数的 $K$-理论计算从左 Ore 条件推广至更一般情形。
• 为由自同构作用于 $C^*$-代数 $A$ 的半群 $P$ 生成的约化交叉积 $A \rtimes_{\alpha,r} P$ 建立 $K$-理论公式。
• 通过完全不连通 $G$-空间中独立紧开集族导出的典范 $KK^G$-类，将下降原理（DC）推广至一般系数与非平凡作用。
• 证明对于某些半群（包括 Dedekind 整环上 $ax+b$-半群），尽管结构不同，左正则与右正则半群 $C^*$-代数的 $K$-理论仍相同。

提出的方法

• 从完全不连通 $G$-空间 $\Omega$ 中的 $G$-不变且独立的紧开子集族 $\mathcal{V}$ 构造一个典范 $KK^G$-类 $x \in KK^G(C_0(I), C_0(\Omega))$，其中 $I = \mathcal{V} \setminus \{\emptyset\}$。
• 利用紧子群上的下降原理（DC），在 $G$ 满足 Baum-Connes 猜想的条件下，证明 $x$ 诱导同构 $K_*(A \otimes C_0(\Omega) \rtimes_r G) \cong K_*(A \otimes C_0(I) \rtimes_r G)$。
• 应用 Green 的非平凡性定理，将右边分解为 $G$-轨道在 $I$ 上的直和，得到 $\bigoplus_{[i] \in G \setminus I} K_*(A \rtimes_{\alpha,r} G_i)$，其中 $G_i$ 是 $i \in I$ 的稳定子。
• 通过 Hilbert $B$-模与等变 $*$-同态，利用矩阵分解 $\Gamma = \Gamma^+ - \Gamma^-$（非负整数系数）构造 $KK^G$-类。
• 通过张量积恒等式 $x_\Gamma^G \otimes_B x_\Lambda^G = x_{\Lambda \cdot \Gamma}^G$ 在 $KK^G(C,A)$ 中证明构造的函子性，当 $\Gamma \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ 时，$x_\Gamma^G$ 可逆。
• 将该框架应用于嵌入于满足 Toeplitz 条件的群 $G$ 中的半群 $P$，恢复并推广了关于 $C^*_\lambda(P)$ 与 $C^*_\rho(P)$ 的 $K$-理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可通过群论下降方法计算由自同构半群作用生成的约化交叉积 $A \rtimes_{\alpha,r} P$ 的 $K$-理论？
• RQ2 半群 $P$ 中可构造右理想独立性如何与关联的 $G$-空间 $\Omega_P$ 及其 $K$-理论结构相关联？
• RQ3 下降原理（DC）能否推广至任意 $C^*$-代数系数与非平凡作用？
• RQ4 对于哪些半群 $P$，左正则代数 $C^*_\lambda(P)$ 与右正则代数 $C^*_\rho(P)$ 的 $K$-理论相同？
• RQ5 Baum-Connes 猜想在确保通过下降机制实现的 $K$-理论同构有效性中起何种作用？

主要发现

• 约化交叉积 $A \rtimes_{\alpha,r} P$ 的 $K$-理论同构于直和 $\bigoplus_{[i] \in G \setminus I} K_*(A \rtimes_{\alpha,r} G_i)$，其中 $I$ 是完全不连通 $G$-空间 $\Omega_P$ 中一个 $G$-不变且独立的紧开子集族的非空元素集合，$G_i$ 为 $i \in I$ 的稳定子。
• 该同构由一个从矩阵分解 $\Gamma = \Gamma^+ - \Gamma^-$（非负整数系数）构造出的典范 $KK^G$-类 $x \in KK^G(C_0(I), C_0(\Omega))$ 诱导。
• 该构造具有函子性：在 $KK^G(C,A)$ 中有 $x_\Gamma^G \otimes_B x_\Lambda^G = x_{\Lambda \cdot \Gamma}^G$，且当 $\Gamma \in \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ 时，$x_\Gamma^G$ 可逆。
• 对于 Dedekind 整环 $R$ 上的 $ax+b$-半群 $R \rtimes R^\times$，尽管代数结构不同，$C^*_\lambda(P)$ 与 $C^*_\rho(P)$ 的 $K$-理论仍相同。
• 该方法通过将嵌入 $P \subseteq G$ 的左 Ore 条件弱化为 Toeplitz 条件，同时保留相同的 $K$-理论公式，推广了先前关于半群 $C^*$-代数 $K$-理论的结果。
• 该框架适用于多种半群（包括左 Ore 半群与拟格序半群），并通过群在完全不连通空间上的作用，为 $K$-理论计算提供统一方法。