[论文解读] On the kernel of the push-forward homomorphism between Chow groups

Kalyan Banerjee, Jaya Nn Iyer|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文证明了，对于光滑射影曲线 $C$ 的雅可比簇 $J(C)$ 中，由特殊丰沛除子 $H_C$（线性等价于 $n\Theta$）诱导的有理查尔斯群上的前推同态，对所有 $k \geq 0$ 具有平凡核。证明依赖于高阶查尔斯群的局部化正合列，以及柯林诺定理在曲线对称幂上的推广。

ABSTRACT

In this note we prove that the kernel of the push-forward homomorphism on $d$-cycles modulo rational equivalence, induced by the closed embedding of an ample divisor linearly equivalent to some multiple of the theta divisor inside the Jacobian variety $J(C)$ is trivial. Here $C$ is a smooth projective curve of genus $g$.

研究动机与目标

• 研究由丰沛除子嵌入光滑射影概形所诱导的有理查尔斯群上的前推同态的核。
• 验证诺里与帕拉尼亚帕猜想在雅可比簇中theta除子情形下的对偶版本。
• 建立 $J(C)$ 中线性等价于theta除子倍数的除子上 $k$-循环的前推映射的单射性。
• 将柯林诺关于曲线对称幂的定理推广至高阶查尔斯群及其开子集，从而支持主要证明。

提出的方法

• 利用高阶查尔斯群的局部化正合列，分析伽罗瓦覆叠 $\tilde{C} \to C$ 的雅可比簇上 $G$-不动子概形上的循环类。
• 应用柯林诺的一个定理，证明对包含关系 $\mathrm{Sym}^m C \hookrightarrow \mathrm{Sym}^n C$（其中 $m \leq n$）的 $k$-循环前推映射的单射性。
• 将柯林诺的结果推广至对称幂及其开子集的高阶查尔斯群，建立高阶查尔斯群上拉回映射 $\rho^{s*}$ 的良定义性。
• 构造一个包含对称幂及其补集的高阶查尔斯群的交换图，利用边界映射 $\partial_i^*$ 和拉回映射 $\rho^{s*}$ 分析循环类。
• 通过在对称幂次数上进行归纳，证明高阶查尔斯群上前推映射 $i_{m,n*}^s$ 的单射性：$\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C, s) \to \mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^n C, s)$。
• 利用 $\mathrm{Sym}^{m-1}C$ 上前推映射的单射性，推导出 $\mathrm{Sym}^m C$ 上循环在前推下的平凡性，从而得出关于 $H_C \subset J(C)$ 的主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于伽罗瓦覆叠 $C$ 的theta除子的限制所得到的特殊丰沛除子 $H_C$ 嵌入雅可比簇 $J(C)$ 的情形，有理查尔斯群上的前推同态是否单射？
• RQ2 当 $H_C$ 作为 $J(\tilde{C})$ 上theta除子的拉回时，$J(C)$ 中线性等价于 $n\Theta$ 的除子上 $k$-循环的前推映射是否保持单射性？
• RQ3 柯林诺关于曲线对称幂的定理能否推广至高阶查尔斯群及对称幂的开子集？
• RQ4 对于此类除子 $H_C$，前推映射 $j_{C*}: \mathrm{CH}_k(H_C) \otimes \mathbb{Q} \to \mathrm{CH}_k(J(C)) \otimes \mathbb{Q}$ 的核具有何种结构？
• RQ5 高阶查尔斯群上前推映射的单射性如何与雅可比簇及其对称幂的几何结构相关？

主要发现

• 对于所有 $k \geq 0$，前推同态 $j_{C*}: \mathrm{CH}_k(H_C) \otimes \mathbb{Q} \to \mathrm{CH}_k(J(C)) \otimes \mathbb{Q}$ 的核是平凡的，其中 $H_C$ 是 $|n\Theta|$ 中一个光滑、不可约且丰沛的除子，且为从 $J(\tilde{C})$ 上theta除子限制所得。
• 对于所有 $m \leq n$ 和所有 $s \geq 0$，高阶查尔斯群上的前推映射 $i_{m,n*}^s: \mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C, s) \to \mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^n C, s)$ 是单射的。
• 高阶查尔斯群上的拉回映射 $\rho^{s*}$ 对于对称幂的开子集是良定义的，具体而言，从 $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C \setminus W, s)$ 到 $\mathrm{CH}^*(W_0(m), s)$，其中 $W_0(m)$ 是对称幂中的补集。
• 高阶查尔斯群上 $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^{m-1}C, s)$ 上前推映射的单射性，通过局部化正合列可推出 $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C, s)$ 上的单射性，从而支持归纳证明。
• 将柯林诺定理推广至高阶查尔斯群及开子集，为证明雅可比簇上的主要结果提供了关键的技术工具。
• 对于 $|n\Theta|$ 中的一般除子，如 C. Voisin 所指出，$CH_0$ 上的单射性无法期望成立，但本结果对通过伽罗瓦覆叠构造的特殊 $H_C$ 成立。