[论文解读] On the key exchange with nonlinear polynomial maps of stable degree

Vasyl Ustimenko, Aneta Wróblewska|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于有限域上Cremona群中稳定次数的非线性多项式映射的新型密钥交换协议，利用符号计算抵抗离散对数攻击。该协议构建了具有恒定次数3的显式变换族，确保攻击者无法在计算上确定基的阶，并通过C++高效实现，加密过程为多项式时间，而基于标准方法的密码分析则为指数时间。

ABSTRACT

We say that the sequence $g_n$, $n\ge 3$, $n ightarrow \infty$ of polynomial transformation bijective maps of free module $K^n$ over commutative ring $K$ is a sequence of stable degree if the order of $g_n$ is growing with $n$ and the degree of each nonidentical polynomial map of kind ${g_n}^k$ is an independent constant $c$. A transformation $b=τ {g_n}^k τ^{-1}$, where $τ$ is affine bijection, $n$ is large and $k$ is relatively small, can be used as a base of group theoretical Diffie-Hellman key exchange algorithm for the Cremona group $C(K^n)$ of all regular automorphisms of $K^n$. The specific feature of this method is that the order of the base may be unknown for the adversary because of the complexity of its computation. The exchange can be implemented by tools of Computer Algebra (symbolic computations). The adversary can not use the degree of righthandside in $b^x=d$ to evaluate unknown $x$ in this form for the discrete logarithm problem. In the paper we introduce the explicit constructions of sequences of elements of stable degree for cases $c=3$ for each commutative ring $K$ containing at least 3 regular elements and discuss the implementation of related key exchange and public key algorithms.

研究动机与目标

• 通过利用具有稳定次数的非线性多项式映射，开发一种抵抗离散对数攻击的密钥交换协议。
• 在至少包含三个正则元素的交换环上，构建具有恒定次数（c=3）的群元素显式族。
• 即使攻击者已知映射的次数，也确保基变换的阶对攻击者未知。
• 通过符号计算工具实现实际应用，避免依赖数论假设。
• 分析加密和密码分析的计算复杂度，证明合法用户可实现多项式时间加密，而攻击者则需指数时间。

提出的方法

• 协议通过使用次数为3的非线性双射多项式映射对仿射映射进行共轭，生成Cremona群中具有稳定次数的元素。
• 在 $ S_{p^n} $ 中定义变换序列 $ g_n $，使得所有非单位幂 $ g_n^k $ 的次数恰好为3，从而保证稳定次数。
• 该构造依赖于受限图同态 $ ilde{DD}(n,K) $ 和群 $ Q(n,K) $ 的射影极限，确保无限阶和高围长。
• 公开规则定义为 $ y_i = F_i(x_1, \dots, x_n) $，其中每个 $ F_i $ 是域 $ F_q $ 上 $ n $ 个变量的三次多项式。
• 将仿射变换 $ T_1, T_2 $ 与非线性映射 $ N_l $ 复合，以生成公钥，其中 $ A $、$ B $、$ c $ 和 $ d $ 的选择旨在实现低计算成本。
• 实现使用C++，通过优化的矩阵和向量运算，实现多项式时间加密和基于Gröbner基的指数时间密码分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在至少包含三个正则元素的交换环上，显式构造出具有稳定次数3的非线性多项式映射族？
• RQ2 如何利用此类映射设计一种抵抗离散对数攻击的密钥交换协议？
• RQ3 在符号计算中使用三次多项式映射时，加密和密码分析的计算复杂度如何？
• RQ4 即使攻击者已知映射的次数，基变换的阶是否仍可对攻击者保持未知？
• RQ5 当变量数量和明文大小增加时，该协议的性能如何扩展？

主要发现

• 本文为任意包含至少三个正则元素的交换环 $ K $，构造了具有稳定次数3的变换显式族。
• 定义为受限群 $ Q(n,K) $ 射影极限的群 $ Q(K) $，其元素具有无限阶，从而确保长期有效的加密密钥。
• $ ilde{DD}(n,K) $ 中的最小环长下界为 $ \lfloor (n+5)/2 \rfloor $，表明具有高围长，能有效抵抗环查找攻击。
• 公钥生成时间随 $ n $ 近似二次增长，从 $ n=10 $ 时的约15ms增长到 $ n=100 $ 时的约4.9秒（$ p=60 $）。
• 加密时间随明文大小显著增加：$ n=20 $ 时约16ms，$ n=100 $ 时达约4.9秒，具体取决于域大小。
• 通过Gröbner基方法进行密码分析的时间复杂度为 $ O(3^{n^4}) $，对大 $ n $ 值而言不可行，尽管加密过程为多项式时间。