[论文解读] On the Kirwan map for moduli of Higgs bundles

Emily Cliff, Thomas Nevins+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文证明了当半单群 G 的中心 Z(G) 不连通时，从 G-主丛模堆栈的上同调到半稳定 G-Higgs 可积丛的上同调的 Kirwan映射不是满射。通过应用一种类似 Borel-Quillen 的堆栈等变上同调局部化定理，作者表明 Higgs 可积丛模空间的变上同调与交上同调群包含非平凡的 Bun(π₀(Z), C) 表示，这些表示无法从 G-主丛堆栈的上同调上拉回，从而阻碍了 Kirwan 映射的满射性。

ABSTRACT

Let $C$ be a smooth complex projective curve and $G$ a connected complex reductive group. We prove that if the center $Z(G)$ of $G$ is disconnected, then the Kirwan map $H^*\big(\operatorname{Bun}(G,C),\mathbb{Q}\big) ightarrow H^*\big(\mathcal{M}_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}},\mathbb{Q}\big)$ from the cohomology of the moduli stack of $G$-bundles to the moduli stack of semistable $G$-Higgs bundles, fails to be surjective: more precisely, the "variant cohomology" (and variant intersection cohomology) of the stack $\mathcal{M}_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}}$ of semistable $G$-Higgs bundles, is always nontrivial. We also show that the image of the pullback map $H^*\big(M_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}},\mathbb{Q}\big) ightarrow H^*\big(\mathcal{M}_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}},\mathbb{Q}\big)$, from the cohomology of the moduli space of semistable $G$-Higgs bundles to the stack of semistable $G$-Higgs bundles, cannot be contained in the image of the Kirwan map. The proof uses a Borel-Quillen--style localization result for equivariant cohomology of stacks to reduce to an explicit construction and calculation.

研究动机与目标

• 确定从 G-主丛模堆栈到半稳定 G-Higgs 可积丛模空间的 Kirwan 映射成为满射的条件。
• 研究 G 的分支群 π₀(Z(G)) 在阻碍 Kirwan 映射满射性中的作用。
• 建立当 Z(G) 不连通时，Higgs 可积丛模空间中存在非平凡不变上同调与变上同调的证据。
• 通过等变上同调与混合霍赫德结构，扩展对 Higgs 可积丛模堆栈上同调结构的理解。

提出的方法

• 应用一种类似 Borel-Quillen 的堆栈等变上同调局部化定理，将计算简化为 Gₘ 作用下的不动点集。
• 构造一个 G-主丛 P₀ 及其对应的 Higgs 对 (P₀, θ₀)，以实现 Bun(Z, C) 到 Mss_Higgs(G, C) 上 Gₘ 作用不动点集的闭浸入。
• 利用 Bun(π₀(Z), C) 在 Higgs 可积丛的模堆栈与模空间上的作用，检测那些不在 Kirwan 映射像中的非平凡上同调类。
• 分析 Gₘ-等变上同调的 Leray 谱序列，将不动点集的上同调与总上同调联系起来，利用 H∗_Gₘ(pt, Q) 上的纯霍赫德结构。
• 证明 Bun(π₀(Z), C) 的正则表示出现在上同调的混合霍赫德结构的纯部分中，从而表明满射性失败。
• 通过证明不动点集位于有理光滑点集内，将余极限简化为不动点堆栈的奇异上同调，将上述论证推广到交上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 G 的条件下，从 Bun(G, C) 到 Mss_Higgs(G, C) 的 Kirwan映射是满射？
• RQ2 分支群 π₀(Z(G)) 如何影响半稳定 G-Higgs 可积丛模堆栈与模空间的上同调？
• RQ3 变上同调与变交上同调能否检测 Kirwan 映射满射性的障碍？
• RQ4 Bun(π₀(Z), C) 的正则表示是否出现在 Higgs 可积丛模空间上同调的混合霍赫德结构的纯部分中？
• RQ5 Gₘ 作用在 Higgs 可积丛模堆栈上在多大程度上揭示了在 G-主丛堆栈中不可见的隐藏上同调结构？

主要发现

• 当 π₀(Z(G)) 非平凡时，变上同调 H∗(Mss_Higgs(G, C)η)variant 包含 Bun(π₀(Z), C) 的正则表示的商 Q[Bun(π₀(Z), C)]/Q。
• 类似地，变交上同调 IH∗(Mss_Higgs(G, C)η)variant 也包含商 Q[Bun(π₀(Z), C)]/Q。
• 由于这些非平凡变上同调类的存在，Kirwan映射 κη 对所有 η ∈ η₀ + π₁(Z₀) 均不满足满射性。
• 拉回映射 p∗η: H∗(Mss_Higgs(G, C)η) → H∗(Mss_Higgs(G, C)η) 的像不包含于 Kirwan 映射 κ∗η 的像中，确认了上同调障碍的存在。
• 表示 Q[Bun(π₀(Z), C)] 出现在 H∗(Mss_Higgs(G, C), Q) 的混合霍赫德结构的纯部分中，表明 Kirwan 映射无法满射到纯上同调。
• 该结果同样适用于模空间 Mss_Higgs(G, C)，其中 Bun(π₀(Z), C) 以非平凡方式作用于其上同调，而对 H∗(Bun(G, C), Q) 的作用则平凡。